爱华网卢卡斯数列_斐波那契―卢卡斯数列 -定义
斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契―卢卡斯递推。凡符合斐波那契―卢卡斯递推的数列就称为斐波那契―卢卡斯数列。
一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契―卢卡斯数列。
为区别不同的斐波那契―卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契―卢卡斯数列，如
斐波那契数列：F[1,1]；
卢卡斯数列：F[1,3]；
数列1，4，5，9.，14，23…：F[1,4]；
特别地，常数数列0，0，0…：F[0,0]，作为下述斐波那契―卢卡斯数列群的单位元素。
斐波那契―卢卡斯序列，推广斐波那契数列，推广卢卡斯数列，推广兔子数列等。
斐波那契―卢卡斯数列群任意两个或两个以上斐波那契―卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契―卢卡斯数列。
n12345678910…F[1,4]n14591423376097157…F[1,3]n13471118294776123…F[1,4]n-F[1,3]n0112358132134…F[1,4]n+F[1,3]n27916254166107173280…
卢卡斯数列_斐波那契―卢卡斯数列 -斐波那契―卢卡斯数列的性质
一些等式f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76
注意：1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。
每一项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，称为黄金特征。
斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1
卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]数列：|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11
F[2，5]数列：|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11
F[2，7]数列：|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31
斐波那契数列的黄金特征1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]数列和F[2，5]数列的黄金特征是11，黄金特征31的数列除了F[2，7]外，还有F[3，8]，其他前两项互质的斐波那契―卢卡斯数列都是成对出现的，他们都是：
孪生斐波那契―卢卡斯数列
利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，写出前面的项，如下表：
-5-4-3-2-10123456黄金特征F[1,1]5-32-1101123581F[1,3]-117-43-12134711185F[1,4]-1912-75-231459142311F[2,5]-149-54-1325712193111我们发现：斐波那契―卢卡斯数列与分数对应：
F[1，1]的正负项绝对值相等，第0项为0，对应于整数。
F[1，3]的正负项绝对值也相等，第0项为2，第1项为1，对应于分数1/2。
而F[1，4]的正项绝对值与F[2，5]的负项绝对值相等，F[2，5]的正项绝对值与F[1，4]的负项绝对值相等，而且，他们的第0项都是3，第1项分别是1和2，所以他们对应互补的分数1/3和2/3，这样的数列就是孪生斐波那契―卢卡斯数列。每一对互补的分数（如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契―卢卡斯数列。
卢卡斯数列_斐波那契―卢卡斯数列 -黄金阵列
经过对斐波那契―卢卡斯数列和黄金特征、黄金比例的研究，我把自然数排列为如下的黄金阵列：
123581321345589…461016264268…
71118294776…
915243963…
1219315081…
1423376097…
17284573…
20325284…
22365894…
254065…
274471…
304979…
335386…
…
第一排，斐波那契数列，1，2，3，5，8.…
第二排，最小缺4，4*1.618取整6――4，6，10，16…
第三排，最小缺7，7*1.618取整11――7，11，18，29…
以此类推。
第1列的经验公式：[(2n-1)(√5+3)/4+0.5]的整数部分。
黄金阵列具有以下性质：
1）各斐波那契―卢卡斯数列都出现一次（常数数列0，0，0…除外）
2）每一个同一列的数，与黄金比例之积，与整数的距离差不多。
每一个数的列数，我们可乘之为该数的黄金阶数。
前10个数的黄金阶数分别是1，2，3，1，4，2，1，5，1，3。
前10个黄金阶数5阶或5阶以上的数分别是8，13，21，26，34，42，47，55，63，68，他们之间两两相差5或8，我们称之为真金数。
黄金阶数为1的数，不是在真金数的两边（如8的两边7和9），就是在相差8的2个真金数中间（如13和21之间的17）。
