爱华网矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。
矩阵乘法_矩阵乘法 -基本定义
只有当矩阵 A的列数与矩阵 B的行数相等时 A× B才有意义。一个 m× n的矩阵 a（m, n)左乘一个 n× p的矩阵 b（n, p)，会得到一个 m× p的矩阵 c（m, p)，满足
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律
一般的矩乘要结合快速幂才有效果。（基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的）
在计算机中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：
矩阵乘法的c语言程序：
#include
float main()
{
float a,b,c;//定义三个数组，分别存储矩阵A,B,C
int m1,n1,m2,n2,i1,j1,i2,j2,i3,j3,i4,j4,k;
float s={0};//赋值使数组s元素初值全部为零
printf("请输入矩阵A行数m1,列数n1:");//输入矩阵A行数，列数
scanf("%d,%d",&m1,&n1);
printf("请输入矩阵B行数m2,列数n2:");//输入矩阵B行数，列数
scanf("%d,%d",&m2,&n2);
printf("nn");//如果不可以相乘，下面将出现判断，在此换行，便于观看
if(n1!=m2)
printf("不可以相乘！！！");//判断是否可以相乘
printf("nn");
if((m1>100)||(n1>100))
printf("数目过多！！！");//控制矩阵A元素数量在数组容纳范围内
else
{
for(i1=1;i1
{
for(j1=1;j1
{
printf("a[%d][%d]=:",i1,j1);
scanf("%f",&a[i1][j1]);//输入矩阵A元素
}
}
}
printf("n");//分隔开A,B的元素输入，便于观看
if((m2>100)||(n2>100))
printf("数目过多！！！");
else
{
for(i2=1;i2
{
for(j2=1;j2
{
printf("b[%d][%d]=:",i2,j2);
scanf("%f",&b[i2][j2]);//输入矩阵B元素
}
}
}
printf("矩阵A:n");//输出矩阵A，便于观看，检验
for(i3=1;i3
{
for(j3=1;j3
{
printf("%f ",a[i3][j3]);
if(j3==n1)
printf("n");
}
}
printf("n");//与矩阵B的输出结果隔开，便于观看
printf("矩阵B:n");//输出矩阵A，便于观看，检验
for(i4=1;i4
{
for(j4=1;j4
{
printf("%f ",b[i4][j4]);
if(j4==n2)
printf("n");
}
}
printf("n")；
printf("矩阵C=A*B:n");
for(i4=1;i4
{
for(j4=1;j4
{
for(k=1;k
{
s[i4][j4]=s[i4][j4]+a[i4][k]*b[k][j4];//定义矩阵乘法，相乘时，有一个指标是一样的，都用k
}
c[i4][j4]=s[i4][j4];//定义矩阵乘法
printf("%f ",c[i4][j4]);
if(j4==n2)
printf("n");//控制在列指标到达N时换行
}
}
return 0;
}
图片展示
程序运行结果示例： 一般矩乘的代码：function mul( a , b : Tmatrix ) : Tmatrix;
var
i,j,k : longint;
c : Tmatrix;
begin
fillchar( c , sizeof( c ) , 0 );
for k:=0 to n do
for i:=0 to m do
for j:=0 to p do
begin
inc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );
if c[ i , j ]>ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ] mod ra;
end;
mul:=c;
end;
这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
矩阵乘法
不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1： 右面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：
矩阵乘法的两个重要性质： 一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？因为交换后两个矩阵有可能不能相乘。为什么它又满足结合律呢？假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。
矩阵乘法_矩阵乘法 -基本性质
1.结合性 （ AB) C= A( BC）．
2.对加法的分配性 （ A+ B) C= AC+ BC， C( A+ B）= CA+ CB ．
3.对数乘的结合性 k( AB）=（ kA) B = A( kB）．
4.关于转置 (AB)'=B'A'．
矩阵乘法_矩阵乘法 -经典题目
给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都modp。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4=A*A*A*A=(A*A)*(A*A)=A^2*A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n=A^(n/2)*A^(n/2)；当n为奇数时，A^n=A^(n/2)*A^(n/2)*A（其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。
POJ3233题目大意：给定矩阵A，求A+A^2+A^3+...+A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据modm。k
这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：
A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=(A+A^2+A^3)+A^3*(A+A^2+A^3)
应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A+A^2+A^3，即可得到原问题的答案。
VOJ1049题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1234置换为3124，相当于下面的矩阵乘法：
置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）
大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。
给定n和p，求第n个Fibonacci数modp的值，n不超过2^31
根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2x2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2x2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2x2的矩阵很容易构造出来：
VOJ1067我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n)=4f(n-1)-3f(n-2)+2f(n-4)的第k项：
利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。
给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数modp的值
把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。
矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵乘法经典题目9
用1x2的多米诺骨牌填满MxN的矩形有多少种方案，M
我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。比如，n=2时有3种方案，111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌复盖3x2矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。
后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。
经典题目10POJ2778
题目大意是，检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出10个以内的病毒片段，每个片段长度不超过10。数据规模n
下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例，说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。我们找出所有病毒片段的前缀，把n位DNA分为以下7类：以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以?结尾。其中问号表示“其它情况”，它可以是任一字母，只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。显然，这些分类是全集的一个划分（交集为空，并集为全集）。现在，假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数，我们需要求出长度为n时各类DNA的个数。我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如，从AT不能转移到AA，从AT转移到?有4种方法（后面加任一字母），从?A转移到AA有1种方案（后面加个A），从?A转移到?有2种方案（后面加G或C），从GG到?有2种方案（后面加C将构成病毒片段，不合法，只能加A和T）等等。这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。然后，我们就把这个图转化成矩阵，让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从?状态到所有其它状态的路径数总和。
矩阵乘法_矩阵乘法 -乘法算法
传统算法：
若依定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的个元素所需的计算时间为O(n3)
Strassen矩阵乘法：
矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵乘法
T(n)=O(nlog7)=O(n2.81)时间复杂度有了较大改进！
目前最好的计算时间上界是O(n2.376)
