圆周率计算公式 圆周率 圆周率-记号，圆周率-公式

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。 圆周率用字母 π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。 在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

圆周率_圆周率 -记号

π是第十六个希腊字母的小写。

这个符号，亦是希腊语 περιφρεια （表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。1706年英国数学家威廉・琼斯（William Jones ，1675－1749）最先使用“π”来表示圆周率。1736年，瑞士大数学家欧拉也开始用表示圆周率。从此，便成了圆周率的代名词。

要注意不可把π和其大写Π混用，后者是指连乘的意思。

圆周率_圆周率 -公式

圆周率π一般定义为一个圆形的周长C与直径d之比C/d。

由相似图形的性质可知，对于任何圆形C/d的值都是一样。这样就定义出常数π。

第二个做法是，以圆形半径为边长作一正方形，然后把圆形面积和此正方形面积的比例订为，即圆形之面积与半径平方之比。

定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义为π满足
圆周率的最小正实数x。这里的正弦函数定义为幂级数

圆周率_圆周率 -其他资料

π与电脑的关系

在1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Interator and Computer）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。

在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止，π的值己被算至小数点后60000000000001位（IBM蓝色基因）。

为什么要继续计算π

其实，即使是要求最高、最准确的计算，也用不着这么多的小数位，那么，为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢?

第一，用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错，这就表示硬件有毛病或软件出了错，这样便需要进行更改。同时，以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争，科技也能得到进步，从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式，也是由研究圆周率的推动，从而发展出来的。

第二，数学家把π算的那么长，是想研究π的小数是否有规律。

比如，π值从第700100位小数起，连续出现7个3，即3333333，从第3204765位开始，又连续出现7个3。

现在大家就会问，π只具备这样一种特殊性质吗！？

不是的！

圆周率的发展

圆周率与P级数

p级数

形如 1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… （p>0）的级数称为p级数。

公式

当P为正偶数时，有经典的求和公式：

1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… （p=2）=(π^2)/6

1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… （p=6）=(π^6)/945

计算

历史

古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。

十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。

进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。

历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉・山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。

把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。

现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。

计算方法

古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。

马青公式

π=16arctan1/5-4arctan1/239

这个公式由英国天文学教授约翰・马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。

还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。

拉马努金公式

1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

1989年，大卫・丘德诺夫斯基和格雷高里・丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法。

高斯-勒让德公式

这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

波尔文四次迭代式

这个公式由乔纳森・波尔文和彼得・波尔文于1985年发表的。

bailey-borwein-plouffe算法

这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

丘德诺夫斯基公式

这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本：

莱布尼茨公式

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……

最新纪录

圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。他们于2009年算出π值2576980370000 位小数，这一结果打破了由日本人金田康正的队伍于2002年创造的1241100000000位小数的世界纪录。

法国软件工程师法布里斯-贝拉德日前宣称，他已经计算到了小数点后27000亿位，从而成功打破了由日本科学家2009年利用超级计算机算出来的小数点后25779亿位的吉尼斯世界纪录。

个人背诵圆周率的世界纪录

11月20日，在位于陕西杨凌的西北农林科技大学，生命科学学院研究生吕超结束背诵圆周率之后，戴上了象征成功的花环。当日，吕超同学不间断、无差错背诵圆周率至小数点后67890位，此前，背诵圆周率的吉尼斯世界纪录为无差错背诵小数点后42195位。整个过程用时24小时04分。

数字序列出现的位置

01234567891 26,852,899,245 41,952,536,161 99,972,955,571 102,081,851,717 171,257,652,369

01234567890 53,217,681,704 148,425,641,592

432109876543 149,589,314,822

543210987654 197,954,994,289

98765432109 123,040,860,473 133,601,569,485 150,339,161,883 183,859,550,237

09876543210 42,321,758,803 57,402,068,394 83,358,197,954

10987654321 89,634,825,550 137,803,268,208 152,752,201,245

27182818284 45,111,908,393

1314520 28,288,658

5201314 2,823,254

PC机计算

PiFast

目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt（2）。PiFast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于Fabrice Bellard公式的验算功能。

PC机上的最高计算记录

最高记录：12884901372位

时间：2000年10月10日

记录创造者：Shigeru Kondo

所用程序：PiFast ver3.3

机器配置：Pentium III 1G，1792M RAM，WindowsNT4.0，40GBx2（IDE，FastTrak66）

计算时间：1884375秒（21天19时26分15秒）

验算时间：29小时

C++计算程序演示

#include

#include

#include

#include

#define N 30015

//SOURCE-CODE from Haoso.com

//ReWeite & Debug by Codester

//Dev C++ 5.9.2

using namespace std;

void mult (int *a,int b,int *s)

{

for(int i=N,c=0;i>=0;i--)

{

int y=(*(a+i))*b+c;

c=y/10;

*(s+i)=y%10;

}

}

void divi (int *a,int b,int *s)

{

for(int i=0,c=0;i

{

int y=(*(a+i))+c*10;

c=y%b;

*(s+i)=y/b;

}

}

void incr(int *a,int *b,int *s)

{

for(int i=N,c=0;i>=0;i--)

{

int y=(*(a+i))+(*(b+i))+c;

c=y/10;

*(s+i)=y%10;

}

}

bool eqs(int *a,int *b)

{

int i=0;

while(((*(a+i))==(*(b+i)))&&(i

return i>N;

}

int main(int argc, char *argv[])

{

system("title 圆周率计算");

cout

cout

cout

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