爱华网在数学中，矩阵论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。矩阵理论本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，逐渐发展成为一门独立的学科。
矩阵论_矩阵论 -基本信息
作者：卜长江，罗跃生主编ISBN：10位［7811330717］13位［9787811330717］
出版社：哈尔滨工程大学
出版日期：2007-12-1
定价：￥19.00元
矩阵论_矩阵论 -编辑推荐
本书较为详细地介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的范数、矩阵的导数、积分、级数、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。全书共分为八章，每章均配有一定数量的习题，供读者练习使用。本书可作为工科硕士研究生教材，也可供本科生、工程技术人员及科技工作者参考。
矩阵论_矩阵论 -目录
第一章线性空间和线性映射
1.1数域1.2线性空间
1.3线性空间的基
1.4线性子空间的相关结论
1.5线性映射与线性变换
1.6线性变换的不变子空间
1.7线性空间的同构
习题一
第二章内积空间
2.1欧氏空间与酉空间2.2向量的正交与标准正交基
2.3正交子空间
2.4酉(正交)变换、正交投影
习题二
第三章矩阵的对角化、若当标准型
3.1矩阵对角化3.2埃尔米特二次型
3.3方阵的若当标准型
习题三
第四章矩阵的分解
4.1矩阵的三角分解4.2矩阵的uR分解
4.3矩阵的满秩(最大秩)分解
4.4单纯矩阵的谱分解
4.5矩阵的奇异值分解与极分解
习题四
第五章向量与矩阵的重要数字特征
5.1向量范数5.2矩阵范数
5.3矩阵范数与向量范数的相容性
5.4矩阵的测度
5.5矩阵特征值的估计
5.6范数在数值分析中的应用
习题五
第六章矩阵分析
6.1向量序列和矩阵序列的极限6.2矩阵级数
6.3克罗内克(Kronecker)积
6.4矩阵的微分
6.5矩阵的积分
习题六
第七章矩阵函数
7.1矩阵多项式7.2由解析函数确定的矩阵函数
7.3矩阵函数的计算方法
习题七
第八章矩阵的广义逆
8.1Moore―Penrose逆(M―P逆)8.2具有指定的值域和零空间的{1，2}逆
8.3群逆
8.4广义逆与线性方程组
习题八
参考文献
矩阵论简史
矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生
的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行
列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的
克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关
于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方
法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关
于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉
格郎日没有明显地使用矩阵.
在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后
来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,
称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程
组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如
何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,
高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高
斯―约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认
为著名数学家C.约当是"高斯―约当"消去法中的约当.
为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.
这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特
首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数
于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致
定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.
他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱―哈密尔顿定理断言,一个
方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘
录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键
的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写
下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要".
数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.
涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔
曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了
一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在
19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在
那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩
阵(吉布斯称为并向量(dyads))的和.后来物理学家P. A . M .迪拉克引进了术语
"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列
-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称
做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20
世纪引进的.
矩阵一直与线性变换紧密结合着.直到1900年,它们仅仅是线性变换理论
的有限维的情形.向量空间的现代定义是由皮亚诺于1888年引进的.不久,其
元素是函数的抽象向量空间跟着出现了.
第二次世界大战后随着数字计算机的发展,矩阵,特别是矩阵的数值分析方
面有新的进展.约翰 冯诺伊曼和赫尔曼戈德斯坦于1947年在分析舍入误差中
引进了条件数.阿兰图灵和冯诺伊曼在程序存储计算机方面是二十世纪的巨
人.图灵于1948年引进了矩阵的LU分解,L是对角线上为1的下三角矩阵,U
是梯形矩阵.在解一系列线性方程组时普遍采用LU分解,每个方程组有同一系
数矩阵.QR分解的好处是在10年后认识到的.Q是其列为正交向量的矩阵而R
是上三角矩阵,其对角线元素是正的.QR分解用于各种计算如解方程,找特征
值的计算机算法中.
