爱华网对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期，事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。
周期函数
周期函数_周期函数 -函数性质
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
周期函数_周期函数 -定义
在数学中，周期函数是无论任何独立变量上经过一个确定的周期之后数值皆能重复的函数。我们日常所见的钟表指针以及月亮的月相都呈现出周期性的特点。周期性运动是系统的运动位置呈现周期性的运动。
对于实数或者整数函数来说，周期性意味着按照一定的间隔重复一个特定部分就可以绘制出完整的函数图。如果在函数 f 中所有的位置 x 都满足
f(x + P) = f(x)
那么，f 就是周期为 P 的周期函数。非周期函数就是没有类似周期 P 的函数。
如果周期函数 f 的周期为 P，那么对于 f 中的任意 x 以及任意整数 n，有
f( x + Pn ) = f ( x )
在上面的例子中，P 是 1， f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) = ...。但是函数周期不一定是满足上述等式的最小值，P 也可以是 2。
f(x) = sin(x) 与 f(x) = cos(x) 的图，二者的周期都是 2Pi。一个简单的例子是 f 的分数变量：
f( 0.5 ) = f( 1.5 ) = f( 2.5 ) = ... = 0.5.
其中有一些例子是锯齿波、方波以及三角形波。
三角函数，正弦函数，余弦函数都是常见的周期函数，其周期为 2π。傅立叶级数研究的就将任意的周期函数用合适的三角函数的和来表示。
复数函数可能会有两个不相称的周期，椭圆函数就是类似的函数。
周期函数_周期函数 -判定定理
周期函数定理，总结一共分一下几个类型。
定理1
若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则Kf(X)+C（K≠0）和1/f(X）分别是集M和集{X/f(X)≠0，X∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。[2]
证：
∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T*且f(X+T*)=f(X），∴Kf(X)+C=Kf(X+T*)+C，
∴Kf(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T*不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是Kf(X)+C的周期，则对，
有Kf(X+T’）+C=Kf(X)+CK[f(X+T’）-f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）-f(X)=0，∴f(X+T’）=f(X），
∴T’是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是Kf(X)+C的最小正周期。
同理可证1/f(X）是集{X/f(X)≠0，X}上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2
若f(X）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n）是集{X/aX+n}上的以T*/a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：
先证是f(ax+b）的周期
∵T*是f(X）的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+T）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0<T’<；）是f（ax+b）的周期，
则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），
因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，
∴aT’是f(X）的周期，但<=T*这与T*是f(X）的最小正周期矛盾。
定理3
设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。
证：
设T是u=g(x）的周期，则1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。
例1
设=f(u)=u2是非周期函数，u=g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。
例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)=（非周期函数）而f(g(x))=cos是非周期函数。
证：假设cos是周期函数，则存在T>0使cos（k∈Z）与定义中T是与X无关的常数矛盾，
∴cos不是周期函数。
由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u=g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。
定理4
设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。
证：
设（（p・q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T)±f2（x+T）=f1(x+T1q)±f2（x+T2p）=f1(X）±f2(X)∴f1(X)±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X)、f2(X）是以T为周期的周期函数。
定理4推论
设f1(X)、f2(X）……fn(X)是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若，…（或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例4
f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。
例5
讨论f(X)=的周期性
解：2tg3是以T1=为最小正周期的周期函数。
5tg是以T2为最小正周期的周期函数。
tg2是以T3=为最小正周期的周期函数。
又都是有理数
∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。
同理可证：
⑴f(X)=cos;
⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
定理5
设f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1=、T2=，又∈Q
由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。
⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+)sin=-2sins(a2x+)sin⑴。
令x=得2cos（a1x+），则（K∈Z）。⑵
或C∈Z⑶
又在⑴中令2sin（a2x+）sin=-2sin=0
由⑷
由sin⑸
由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。
由⑶、（5得）⑹
∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。
周期函数_周期函数 -判定方法
[2]⑴若f(X）的定义域有界
例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。
⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)=f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)-f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。
例：f(X)=cosx是非周期函数。
⑶一般用反证法证明。（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。
例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对，a（x+T）+b=ax+bax+aT-ax=0aT=0又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。
例：证f(X)=是非周期函数。
证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对，有（x+T)=f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T)≠f(X）与f(x+T)=f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)=sinx2是周期函数，则存在T（>0），使对，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X=T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2
T2=Lπ（L∈Z+），∴
与3+2是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
