三阶幻方是最简单的幻方,又叫九宫格,是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵(如右图示),其对角线、横行、纵向的的和都为15,称这个最简单的幻方的幻和为15。中心数为5。伏羲得之以画卦,大禹得之以序畴,列圣得之以开物”的感叹,大意是说,数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书,伏羲依靠河图画出八卦,大禹按照洛书划分九州,并制定治理天下的九类大法,圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策,对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。
三阶幻方_三阶幻方 -基本型
相传,大禹治水时,洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案,史称“洛书”,用现在的数字翻译出来,就是三阶幻方。
2500年前,孔子在他研究《易经》的着作《系词上传》中记载了:“河出图,洛出书,圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子・天运》,它认为:“天有六极五常,帝王顺之则治,逆之则凶。九洛之事,治成德备,监照下土,天下戴之,此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇?其肇自图、书乎?伏羲得之以画卦,大禹得之以序畴,列圣得之以开物”的感叹,大意是说,数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书,伏羲依靠河图画出八卦,大禹按照洛书划分九州,并制定治理天下的九类大法,圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策,对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约,均衡统一得到启发而制定国家的法律体系,使得天下一统,归于大治,这是借鉴思维的开端。这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然,被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪,中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究,欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究,如今,幻方仍然是组合数学的研究课题之一,经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力,幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前,它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年,4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空,向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿!
由三阶基本幻方各数减1生成的新幻方
由1、2、3、……等连续自然数生成的幻方为基本幻方,在此基础上各数再加或减一个相同的数,可组成由零或负数组成的新幻方,新
幻方的幻和也随之变化,不再与原幻方幻和同。
三阶幻方
如上图基本幻方中各数减1生成的新幻方,幻和为12,如下图示:
三阶幻方_三阶幻方 -基本幻方的构造
拆填方式
想:1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15,可确定中心格应填5,这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角,若填两对奇数,那么因三个奇数的和才可能得奇数,四边上的 格里已不可再填奇数,不行。若四个角分别填一对偶数,一对奇数,也行不通。因此,判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后,其余格里再填奇数就很容易了。
古代方式
南宋数学家 杨辉概括的构造方法为:
“九子斜排。上下对易,
左右相更。四维突出。”
中国古代九宫格的填法口诀是:
九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。也有把这两者综合起来说的:
九子斜排,上下对易,
左右相更,四维挺出,
戴九履一,左三右七,
二四为肩,六八为足
即:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
或
2
9
4
7
5
3
6
1
8
奇阶幻方通用构造法
口诀:1 居上行正中央,
依次斜填切莫忘,
上出框界往下写,
右出框时左边放,
重复便在下格填,
出角重复一个样。
解释:1)在第一行居中的方格内放1,依次向右上方填入2、3、4…;
2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;
3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;
4)如果右上方已有数字和出了对角线,则向下移一格继续填写。
5)也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。
例如:1为第一行中间数,则将对应的9填在最后一行的中间。2以次类推。
按照这种方式,做镜像或旋转对称,可得到实际相同的其他填法:
只要将1放于四个变格的正中,向幻方外侧依次斜填其余数字;若出边,将数字调到另一侧;若目标格已有数字或出角,回一步填写数字,再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
三阶幻方_三阶幻方 -三阶基本幻方所有情况
用1~9填出的三阶基本幻方的所有情况都是相互镜像或旋转的。
是本质相同的不同表现:
第一种:
8
1
6
3
5
7
4
9
2
第二种:
6
1
8
7
5
3
2
9
4
第三种:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
第四种:
2
9
4
7
5
3
6
1
8
第五种:
6
7
2
1
5
9
8
3
4
第六种:
8
3
4
1
5
9
6
7
2
第七种:
2
7
6
9
5
1
4
3
8
第八种:
4
3
8
9
5
1
2
7
6
三阶幻方_三阶幻方 -特殊数组构造幻方
任意等差数列
任意等差数列都可以由1~9的每个数乘以X,再加Y,得到。
因此按照原先的从小到大的顺序排列,幻方仍然成立。
例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30构成幻方:
把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3,再加3:
27
6
21
12
18
24
15
30
9
幻和值=54
等差的三组等差
3个一组的数,组与组等差,每组数与数等差,这样的数能构成3阶幻方。
同样按照基本幻方的大小排列他们的顺序即可
例如以下3组9个数:
【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方,
26
2
17
6
15
24
13
28
4
幻和值=45。
三阶幻方_三阶幻方 -一般三阶幻方的规律
以下规律对所有三阶幻方均成立:
幻和与中心数
幻和=3×中心数证明:
通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来,可以得到:
幻和×4=全体数的和+中心数×3
而我们知道三阶幻方中,全体数的和=3×幻和(三行或三列)
因此有:
幻和×4=幻和×3+中心数×3
化简得到:
幻和=3×中心数
过中心的线
过中心的线上的三个数,依次成等差数列。或者说,
关于中心位置对称的两数,平均数是中心数。证明:
过中心线的三个数之和为幻和。性质1已经说明,幻和=3×中心数。
因此中心数是这三个数的平均数。
从这之中去掉中心数不改变平均数。
因此中心数是关于中心位置对称的两数。
也就是一个数比中心数多多少,另一个数就比中心数少多少。即他们成等差数列
边角关系
2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。2a=b+c
如:基本幻方中:2*8=9+7,2*4=1+7,2*6=3+9,2*2=1+3
a
c
b
证明:
过a有3条线。计算这三条线的和:
幻和×3=全体数的和+2×a-b-c
而
全体数的和=幻和×3
因此
2×a-b-c=0
2×a=b+c