爱华网向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
向量_向量空间 -公理化定义
设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算：
向量加法：+ : V × V → V 记作 v + w, ? v, w ∈ V
标量乘法：・ : F × V → V 记作 a v, ?a ∈ F 及 v ∈ V
符合下列公理 (? a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
向量加法交换律：v + w = w + v；
向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，? v ∈ V , v + 0 = v；
向量加法的逆元素：?v∈V, ?w∈V，使得 v + w = 0；
标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；
标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
有些教科书还强调以下两个公理：
V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V
V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V
更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。
首5个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的5个公理应用于标量乘法。
以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性：
零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的
a 0 = 0，? a ∈ F
0 v = 0，? v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元
a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0
v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成?v），这两个写法v ? w 及 v + (?w) 都是标准的
(?1)v = ?v，? v ∈ V
(?a)v = a(?v) = ?(av)，? a ∈ F ，? v ∈ V
向量_向量空间 -线性无关
如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0，那么其中有限多个向量v1, v2, ..., vn称为线性相关的.
反之，称这组向量为线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。
向量_向量空间 -子空间
设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，就称W为 V 的线性子空间。
给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。
给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集合。
给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 V={0}，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …中， Rn的维度就是 n。
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表示。
向量_向量空间 -线性映射
若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。
同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。
一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。
向量_向量空间 -额外结构
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：
一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。
一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。
