爱华网角平分线定义（Angle bisector definition）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle)。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
角平分线_角平分线 -角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。
三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等。
三角形的角平分线不是角的平分线：前者是线段，后者是射线。
其它解释：角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
角平分线_角平分线 -其它解释
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做 三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。） 由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。 由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
角平分线且，三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线_角平分线 -角平分线的作法
在角AOB中，画角平分线作法：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
作法：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
2.连接AN与BM，他们相交于点P；
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
角平分线_角平分线 -角平分线的性质
1.角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。3.角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。（逆运用）
角平分线_角平分线 -角平分线定理
定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。证明：如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线
定理1证明图
∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
又AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴CD=BD
故原命题得证。
该命题有逆定理：
在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
证明：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC
∵DB⊥AB，
∴∠DBA=90
同理∴∠DCA=90
在RT△DBA和RT△DCA中，
{DB=DC(已知）
AD=AD（公共边）
∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）
定理2
三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。证明：如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
定理2证明图
∴DE=DF(定理1)
∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC
过点A作AG⊥BC，,垂足为G
∵2S△ABD=BD×AG,2S△ACD=CD×AG
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD
故原命题得证。
该命题有逆定理：
如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
证明略。
角平分线_角平分线 -三角形的角平分线长
由定理2和斯台沃特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。如右图，在△ABC中，AD平分∠BAC
可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v
由定理2我们知道AB:AC=BD:CD，所以xv=uy
由斯台沃特定理，有=(x2v+y2u)/(u+v)-uv
用u=xv/v,v=uy/x替换原式中的u和v
即得AD2=xy-uv=AB×AC-BD×DC
角平分线_角平分线 -定理2的其它证明法
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB:AC=MB:MC面积法
由三角形面积公式，得S△ABM=(1/2)・AB・AM・sin∠BAM
面积法图S△ACM=(1/2)・AC・AM・sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAM=∠CAM
∴sin∠BAM=sin∠CAM
∴S△ABM:S△ACM=AB:AC
又△ABM和△ACM等高
设两三角形的高为h
由三角形面积公式，得
S△ABM=(1/2)・BM・h
S△ACM=(1/2)・CM・h
∴S△ABM:S△ACM=BM:CM
∴AB:AC=MB:MC
相似法
过C作CN∥AB，交AM的延长线于N∵CN∥AB
相似法图
∴∠ABC=∠BCN
又∠AMB=∠CMN
∴△ABM∽△NCM
∴AB:NC=BM:CM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAN=∠CAN
又∠BAN=∠ANC
∴∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB:AC=MB:MC
（过M作MN∥AB交AC于N也可证明）
正弦定理法
作△ABC的外接圆，AM交圆于D由正弦定理，得
正弦定理法图
AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,
AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAM=∠CAM
又∠AMB+∠AMC=180°
∴sin∠BAM=sin∠CAM
sin∠AMB=sin∠AMC
∴AB:AC=MB:MC
角平分线_角平分线 -性质应用举例
三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，若AD是△ABC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
角平分线
即∠ACE=∠E
∴AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
（注：例题中∵、∴分别表示为因为、所以）
角平分线_角平分线 -判断
角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。判定定理的证明：如图，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB
证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴∠1=∠2
∴OC平分∠AOB
