数学期望,早在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道题目:甲乙两个人赌博,他们两人获胜的机率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?用概率论的知识,不难得知,甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎,乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词,数学期望由此而来。
数学期望_数学期望 -类型
离散型
数学期望离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望(设级数绝对收敛),记为E(x)。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值,称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广,类似加权平均。例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个,则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0.01,取1的概率为0.9,取2的概率为0.06,取3的概率为0.03,它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为:E(X)=1.11。
连续型
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量的数学期望,记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分,则称X为连续性随机变量,f(x)称为X的概率密度函数(分布密度函数)。
能按一定次序一一列出,其值域为一个或若干个有限或无限区间,这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围(取值)确定,
变量取值只能取离散型的自然数,就是离散型随机变量,
比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上,
k是随机变量,
k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,
因而k是离散型随机变量。
如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,
比如,公共汽车每15分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,
x的取值范围是[0,15),它是一个区间,从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等,因而称这随机变量是连续型随机变量。
连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛,则称此积分值为随机变量X的数学期望,记为:
数学期望_数学期望 -定义
定义1
按照定义,离散随机变量的一切可能取值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望,记为E.如果随机变量只取得有限个值:x,y,z,...则称该随机变量为离散型随机变量。
定义2
决定可靠性的因素常规的安全系数是根据经验而选取的,即取材料的强度极限均值(概率理论中称为数学期望)与工作应力均值(数学期望)之比
数学期望_数学期望 -计算
随机变量
在概率论和统计学中,一个离散性随机变量的期望值(或数学期望、或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说,期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”――“期望值”也许与每一个结果都不相等。(换句话说,期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。)
单独数据
数学期望对于数学期望的定义是这样的。数学期望
E(X)=X1*p(X1)+X2*p(X2)+……+Xn*p(Xn)
X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据,p(X1),p(X2),p(X3),p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则:
E(X)=X1*p(X1)+X2*p(X2)+……+Xn*p(Xn)=X1*f1(X1)+X2*f2(X2)+……+Xn*fn(Xn)
很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
我们举个例子,比如说有这么几个数:
1,1,2,5,2,6,5,8,9,4,8,1
1出现的次数为3次,占所有数据出现次数的3/12,这个3/12就是1所对应的频率。同理,可以计算出f(2)=2/12,f(5)=2/12,f(6)=1/12,f(8)=2/12,f(9)=1/12,f(4)=1/12根据数学期望的定义:
E(X)=1*f(1)+2*f(2)+5*f(5)+6*f(6)+8*f(8)+9*f(9)+4*f(4)=13/3
所以E(X)=13/3,
这些数的算术平均值:
Xa=(1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12=13/3
所以E(X)=Xa=13/3