爱华网二项式定理 binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克・牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：其中，二项式系数指...等号右边的多项式叫做二项展开式。二项展开式的通项公式为：...其i项系数可表示为:...，即n取i的组合数目。二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
二项式定理_二项式定理 -定理定义
二项式定理可以用以下公式表示：
二项式定理
二项式定理
其中，
又有
等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。
它们之间是互通的关系。
二项式定理_二项式定理 -验证推导
考虑用数学归纳法。
二项式定理
当
，
二项式定理
假设二项展开式在
时成立。
二项式定理
设
，则：
二项式定理
二项式定理
二项式定理
，将a、b
二项式定理
，取出
的项：
二项式定理
，设
：
二项式定理
， 取出
项：
二项式定理
，两者相加：
二项式定理
，套用帕斯卡法则：
二项式定理
二项式定理_二项式定理 -定理推广
牛顿广义二项式定理
二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。
二项式定理
二项式定理
其中
。
牛顿二项式扩充定理
二项式定理
设函数：
二项式定理
根据二项式定理得F(x)的任意一项为：
二项式定理
同理上式（）中的任意一项为
二项式定理
如此类推我们预知最后一项存在;
二项式定理
那么我们得到其中
二项式定理
的任意一个系数为以上各式系数之积即为；
二项式定理
二项式定理
设M=0+j+....+q+p+m而且
项的系数为AM
二项式定理
二项式定理_二项式定理 -应用例子
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
证明组合恒等式
二项式定理
二项式定理给出的系数可以视为组合数
的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
二项式定理
比如证明
，可以考虑恒等式
。
二项式定理
展开等式左边得到：
。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。
二项式定理
同时如果展开等式右边可以得到
。
二项式定理
比较两边幂次位的项的系数可以得到：
。
二项式定理
令
，并注意到
即可得到所要证明的结论。
证明自然数幂求和公式
二项式定理
公式具体内容:
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。
当n为奇数时，由1+2+3+4+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1+2+3+4+5+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1+2+3+4+5+6+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。
