爱华网海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。
海伦公式是什么_海伦公式 -原理简介
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式是什么_海伦公式 -证明过程
证明（1）
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导
cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][2]
证明⑵
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}
当P=1时，△2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}
因式分解得
△^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}.其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
代入解得s=8√3
证明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明（具体可以参考证明方法1）
海伦公式是什么_海伦公式 -推广相关
介绍
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c)/2，则S△ABC
=1/2aha
=1/2ab×sinC
=rp
=2R^2sinAsinBsinC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c），则s△abc=aha=ab×sinc=rp=2r2sinasinbsinc
其中，s△abc=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
s=
=①
=②
=③
=④
=⑤
二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得：
x=y=
ha===
∴s△abc=aha=a×=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理：△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t2=
证明：由证一可知，u=v=
∴ha2=t2=－
∴s△abc=aha=a×
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②s=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosc对其进行证明。
证明：要证明s=
则要证s=
=
=ab×sinc
此时s=ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a+∠b+∠c=180○那么
tg・tg+tg・tg+tg・tg=1
证明：如图，tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式，得：
++=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)=xyz④
如图可知：a+b－c=(x+z)+(x+y）－（z+y)=2x
∴x=同理：y=z=
代入④，得：r2・=
两边同乘以，得：
r2・=
两边开方，得：r・=
左边r・=r・p=s△abc右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg=
tg=
tg=
证明：根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③，得：r3=×xyz
应用
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=，则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA=eEB=f
∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3∴△EAB≌△ECD
∴===
解得：e=①f=②
由于S四边形ABCD=S△EAB
将①，②跟b=代入公式变形④，得到：
∴S四边形ABCD=
所以，海伦公式的推广得证。
海伦公式是什么_海伦公式 -证明过程
证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导cosC=(a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明⑵
中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}
当P=1时，△2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}
因式分解得
△^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦――秦九韶公式”。
海伦公式
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}.其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
代入解得s=8√3
证明⑶
海伦公式
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明（具体可以参考证明方法1）海伦公式是什么_海伦公式 -推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c)/2，则
S△ABC
=1/2aha
=1/2ab×sinC
=rp
=2R^2sinAsinBsinC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c），则
s△abc=aha=ab×sinc=rp
=2r2sinasinbsinc
其中，s△abc=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
s=
=①
=②
=③
=④
=⑤
二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得：
x=y=
ha===
∴s△abc=aha=a×=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理：△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t2=
证明：由证一可知，u=v=
∴ha2=t2=――
∴s△abc=aha=a×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②s=可知，运用余弦定理c2=a2+b2――2abcosc对其进行证明。
证明：要证明s=
则要证s=
=
=ab×sinc
此时s=ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a+∠b+∠c=180○那么
tg・tg+tg・tg+tg・tg=1
证明：如图，tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式，得：
++=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)=xyz④
如图可知：a+b――c=(x+z)+(x+y）――（z+y)=2x
∴x=同理：y=z=
代入④，得：r2・=
两边同乘以，得：
r2・=
两边开方，得：r・=
左边r・=r・p=s△abc右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg=
tg=
tg=
证明：根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③，得：r3=×xyz
海伦公式是什么_海伦公式 -应用
海伦公式证明
证一：勾股定理海伦公式
勾股定理证明海伦公式
证二：斯氏定理
证三：余弦定理分析：由变形②S=可知，运用余弦
斯氏定理证明海伦公式
定理c^2=a^2+b^2――2abcosC对其进行证明。
证明：要证明S=
则要证S=ab×sinC
此时S=(ab×sinC)/2为三角形计算公式，故得证。
海伦公式
证四：恒等式
恒等式证
恒等式证明⑵
证五：半角定理
∵由证一，x==――c=p――c
y==――a=p――a
z==――b=p――b
∴r3=∴r=
∴S△ABC=r・p=故得证。
海伦公式
推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=，则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA=eEB=f
∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°
海伦公式
∴∠1=∠3∴△EAB≌△ECD
∴===
解得：e=①f=②
由于S四边形ABCD=S△EAB
将①，②跟b=代入公式变形④，得到：
∴S四边形ABCD=
所以，海伦公式的推广得证
海伦公式是什么_海伦公式 -例题
海伦公式C语言版：
如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC=x
由海伦公式的推广，得：
（4――x）（2+x)2=27
x4――12x2――16x+27=0
x2(x2―1）――11x(x――1）――27(x――1）=0
（x――1）（x3+x2――11x――27）=0
x=1或x3+x2――11x――27=0
当x=1时，AD=BC=1
∴四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现（VBS):
dima,b,c,p,q,s
a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")
b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")
c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=（1/4）*q
msgbox("三角形面积为"&s),,"三角形面积"
在VC中实现
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
inta,b,c,s;
printf("输入第一边n");
scanf("%d",&a);
printf("输入第二边n");
scanf("%d",&b);
printf("输入第三边n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面积为：%fn",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
C#版：
usingSystem;
usingSystem.Collections.Generic;
usingSystem.Text;
namespaceCST09078
classProgram
staticvoidMain(string[]args)
doublea,b,c,p,s;
Console.WriteLine("输入第一条边的长度：n");
a=Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("输入第二条边的长度：n");
b=Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("输入第三条边的长度：n");
c=Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
p=(a+b+c)/2;
s=Math.Sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
Console.WriteLine("我算出来的面积是{0}",s);
Console.Read();
pascal版：
programx;
var
a,b,c:real;
functionxb(x,y,z:real):real;
var
p,s:real;
begin
p:=(x+y+z)/2;
s:=sqrt(p*(p-x)*(p-y)*(p-z));
xb:=s;
end;
begin
readln(a,b,c);
writeln(xb(a,b,c):0:2）；
end.
