波动方程的标准形式 波动方程 波动方程-波动方程简介,波动方程-方程形式

波动方程(wave equation)是一种重要的偏微分方程,主要描述自然界中的各种的波动现象,包括横波和纵波,例如声波、光波和水波。历史上许多科学家,如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔・伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。

波动方程_波动方程 -波动方程简介


波动方程

历史上许多科学家,如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔・伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。

弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔(d'Alembert)等人首先系统研究的,它是一大类偏微分方程的典型代表。

波动方程_波动方程 -方程形式


波动方程

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是:

{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 nabla^2u

这里c通常是一个固定常数,也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动,这可以有很大的变化范围:在上(slinky),它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变,它应该用相速度代替:

v_mathrm = frac{omega}.

注意波可能叠加到另外的运动上(例如声波的传播在气流之类的移动媒介中)。那种情况下,标量u会包含一个(对于沿着流运动的波为正,对于反射波为负)。

u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压,对于振动弦就使从静止位置的位移。nabla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。

如,一维波动方程:


波动方程

二维波动方程:


波动方程

三维波动方程:


波动方程

波动方程_波动方程 -方程的解及条件


波动方程

对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的:

, 其中

为任意两个可微分的单变量函数,分别对应于右传播波,和左传播波。要决定

必须考虑两个初始条件:


波动方程
波动方程

这样达朗贝尔公式变成了:


波动方程

在经典的意义下,如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.

一维情况的波动方程可以用如下方法推导:想象一个质量为m的小质点的队列,互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :

这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是:

m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK

其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。

波动方程_波动方程 -要点分析

如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零(ρ=0),且媒质是均匀、线性、各向同性的,则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得

波动方程的标准形式 波动方程 波动方程-波动方程简介,波动方程-方程形式

波动方程

称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中


波动方程

在自由空间或绝缘良好的介质中,电导率可以忽略不计,即σ=0,于是E和H的微分方程成为


波动方程

称为波动方程或达朗贝尔方程。

波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析,都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。

标量波动方程 应用直角坐标系


波动方程
波动方程

可以把③写成

即把矢量波动方程分解成三个标量波动方程,每个方程中只含一个知函数。但只有在应用直角坐标系时才能得到这样的结果,在其它坐标系中,通过分解而得的三个标量方程都具有复杂的形式。

亥姆霍兹方程 在场源按正弦规律随时间变化的条件下,场量也是同频率的正弦函数,可以用相量表示。由相量形式的麦克斯韦方程组出发,可以推导出相量形式的波动方程:


波动方程

式中:


波动方程

式⑧与⑨又称亥霍兹方程。

  

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