爱华网波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔・伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程_波动方程 -波动方程简介
波动方程
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔・伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d'Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。
波动方程_波动方程 -方程形式
波动方程
对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：
{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 nabla^2u
这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：
v_mathrm = frac{omega}.
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。nabla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。
如，一维波动方程：
波动方程
二维波动方程：
波动方程
三维波动方程：
波动方程
波动方程_波动方程 -方程的解及条件
波动方程
对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的：
, 其中
和
为任意两个可微分的单变量函数，分别对应于右传播波，和左传播波。要决定
和
必须考虑两个初始条件：
波动方程
波动方程
这样达朗贝尔公式变成了：
波动方程
在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.
一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :
这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：
m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK
其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。
波动方程_波动方程 -要点分析
如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得
波动方程
称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中
波动方程
在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为
波动方程
称为波动方程或达朗贝尔方程。
波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。
标量波动方程 应用直角坐标系
波动方程
波动方程
可以把③写成
即把矢量波动方程分解成三个标量波动方程，每个方程中只含一个知函数。但只有在应用直角坐标系时才能得到这样的结果，在其它坐标系中，通过分解而得的三个标量方程都具有复杂的形式。
亥姆霍兹方程 在场源按正弦规律随时间变化的条件下，场量也是同频率的正弦函数，可以用相量表示。由相量形式的麦克斯韦方程组出发，可以推导出相量形式的波动方程：
波动方程
式中：
波动方程
式⑧与⑨又称亥霍兹方程。
