截长补短法的经典例题 截长补短法 截长补短法-定义,截长补短法-用法例题

截长补短法_截长补短法 -定义

截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。

截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。

补短:1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

截长补短法_截长补短法 -用法例题

截长补短法的经典例题 截长补短法 截长补短法-定义,截长补短法-用法例题

例1:正方形AbcD中,点E在CD上,点F在BC上,∠EAF=45。求证:EF=DE+BF。

解:延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。

∵ABCD是正方形

∴∠ADG=∠ABF=90°

AD=AB

又∵DG=BF

∴ADG≌ABF(SAS)

∴∠GAD=∠FAB,AG=AF

∵ABCD是正方形

∴∠DAB=90°

例1-图

=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD

=∠GAF

∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90°-45°

=45°

∵∠GAE=∠FAE=45°,AG=AF

∴AE=AE

∴△EAG≌△EAF(SAS)

∴EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2:如图,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求∠AEB的度数。

解:向AE方向延长AE,交BC的延长线于F。

∵∠5和∠6是对顶角

∴∠5=∠6

又∵E是CD的中点

∴DE=EC

∵AD∥BC

∴∠1=∠DCF例2-图

在△AED和△CEF中:

【∠5=∠6】

【∠1=∠F】

【DE=EC】

∴△AED≌△CEF(AAS)

∴AD=CF,AE=EF

∴AB=AD+BC

=CF+BC

=BF

∴△ABF是等腰三角形

∵△ABF是等腰三角形,AE=EF

∴BE⊥AF

∴∠AEB=90

例3:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。求证:AB+BD=AC。

证明:在AC上截取AE=AB,连接DE。∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

在△ABD和△AED中:

【AB=AE】

【∠1=∠2】

【AD=AD】

∴△ABD≌△AED(SAS)

∴BD=DE,∠B=∠3

又∵∠B=2∠C例3-图

∴∠3=2∠C

∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

∴∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

例4:如图,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°。求证:CD=CB。

证明:在AB上找一点E,使AE=AD,连接CE。∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠BAC

在△ACD和△ACE中:

【AE=AD】

【∠DAC=∠BAC】

【AC=AC】

∴△ACD≌△ACE(SAS)

∴∠ADC=∠AEC,CD=CE例4-图

∵∠ADC=∠AEC

∴∠ADC+∠B

=∠AEC+∠B=180°

∵∠CEB+∠AEC=180°

∴∠B=∠CEB

∴CE=CB

∵CD=CE

∴CD=CB

  

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