矩阵乘积等于0 会不会存在一个数,与 0 的乘积等于 1?

看了问题描述真是太心疼题主了TuT(如果我是老师的话,有学生问出这个问题我肯定非常激动!)给出的是这个问题的『标准答案』,我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。(与以前一样,为了可读性,会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。)

回答分为两部分:第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果(实数毁灭);第二部分是解释虚数单位是怎么出现的(使用『模法』)。

===============第一部分开始了呦===============

首先,对于题主问题的回答是:你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数,但是这样会使得所有的实数都等于零,于是我们什么有趣的事情都干不了啦。

我们先来想一个问题:大家都知道,可是它们为什么相等呢?

这还不简单?因为啊!
这不是一个好答案,因为根据小数点的定义,,所以我们就需要进一步解释为什么以及为什么,于是问题变得更复杂了。

正确答案是:因为,所以.

切,那我也可以继续问啊!为什么就意味着?
因为我们就是这么定义两个分数相等的。

不妨先想一想分数到底是怎么回事:

一开始我们只有整数,然后我们把所有非零的整数召集起来,对它们说:『你们也可以当分母哟!』于是,我们就有了诸如和这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说和就一定相等。

但是光创造数没有用,我们想做运算呀。现在什么规定都没有,那是啥??

于是人们规定,对于两个分数和,如果,那么它们就相等。接着我们就可以定义分数的加法:分母相同的两个分数相加,分母不变,把分子加起来就好了!

这样一来,我们就有了可以做运算的分数(有理数)。更重要的是,当我们把原来的每个整数都当成时,有理数的运算和整数的运算是一致的。

这一点很重要。通常情况下,当我们说『整数集合包含1和2』时,不仅意味着1和2都是整数,而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』。也就是说,我们平时使用的『整数』一词,不仅是指那些数字,而且还蕴含了数字之间的关系(即代数结构)。

所以,为了保证有理数包含整数,他们的运算必须一致,否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。

有了有理数之后,我们可以把它们扩充为实数。同样地,这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。

现在再看之前的问题:如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢?




我们可以接着证明所有的实数都等于零,于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以,试图加入一个『与0的乘积等于1』的数,并不能扩充实数,反而会把实数整个毁掉……

(对学数学的同学多说一句:我们其实可以把环中任意一个对乘法封闭的子集作为分母集合,而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零,我们就只能得到一个等价类。具体可以看GTM73第三章第四节。)

===============第二部分开始了呦===============

那么虚数单位又是怎么出现的呢?
回答这个问题之前,我们先来做一个小小的计算:



没问题吧?好,看来大家都知道虚数单位是什么……好的,从现在开始,我们要假装自己不知道虚数单位,只知道实数。

接下来我们回顾一点点初中的知识:多项式加法、减法、乘法和因式分解。

是啥来着的……?

多项式加法就比如:,减法类似;

多项式乘法就比如:;

因式分解就比如:,这些大家都还记得吧=w=

顺便提醒一下:多项式除以多项式不一定是多项式,比如就不是多项式。

所以,两个(实系数)多项式做加法、减法、乘法之后仍然是(实系数)多项式。

(于是我们说实系数多项式构成了一个环,记作. )

(啊,不要被『环』这个奇怪的词吓到,简单说来『环』就是一个可以做加法、减法、乘法的集合。整数、有理数、实数等等都是环。)

好的,接下来我们来讨论因式分解=w=

再看一眼之前的例子,

这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积,而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积,除非其中一个是常数。于是,我们就说一次多项式是『不可约』的。

相对应地,可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积,我们就说它是『可约』的。

那么二次多项式有不可约的吗?有,比如就不可约。(别忘了我们现在只知道实数!只知道实数!只知道实数!)

不可约!真是高冷!

没事,不可约,那我们就不要它了╭(╯^╰)╮


哼!好!不过啥叫『不要』??
『不要』的意思就是:把所有的都换成零。

我们来看看这样会发生什么。举个例子,比如我们知道:



然后我们把所有高冷的都找出来:



接着,我们把高冷的换成零:



所以,当我们把换成零之后,运算结果就变成了:



诶嘿,是不是有点眼熟?再看看一开始复数乘法的例子:



哇!

我们发现,把所有换成零之后,多项式的乘法就跟复数的乘法一样了!

好神奇啊!这是巧合吗???

这不是巧合。

不妨设想一下,假如有个人只知道实数而不知道复数,我们如何向他解释是什么呢?

我们会说:就是一个平方等于的数,也就是说,

这不正是我们之前做的事情吗?

我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』,记作,接着把所有都换成零。

所以,把实系数多项式环中所有换成零,就变得跟一样了,于是我们就可以得到复数(域)了。

复数域就是这么来的。(当然也可以直接定义,这里只讲代数方法。)

用数学语言来说,『把所有换成零』这个操作叫『模掉生成的理想』。
矩阵乘积等于0 会不会存在一个数,与 0 的乘积等于 1?

所谓『生成的理想』,在这里就是指一切的倍数,记作. 因为变为零,那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以所有的倍数,即生成的理想,都被『模掉』啦。

写成数学语言就是:

这个『模掉理想』的操作并不局限于. 实际上,我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉,都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。

当然,我们一般用这个方法扩张有理数域而不是实数域,因为扩张一步之后得到复数域,就没法再继续这样扩张了(因为是代数闭域),而有很多有趣的扩张。

举个例子,不在有理数域中,而它是上的不可约多项式的根,所以我们如果想把加进中,我们就把有理系数多项式环模掉生成的理想,也就是:

那如果模掉可约多项式生成的理想会怎么样?比如,模掉会怎么样?
额,那就会得到一个很奇怪的东西……想一想,由于,我们把换成零,却没有把它的因子和换成零。这就意味着,将会有两个不是零的数乘起来是零……这样的环性质就太差了(连整环都不是),并不是原来数域的扩张。

走之前我想问你最后一个问题……

爱过,不可约,理想已被模掉,不是巧合……

不不不,不是这些。你刚刚说在中模掉就相当于是在中加入了的根,可是为什么不是加入呢?也是的根啊。
啊,这是个好问题。简单一点的回答就是,你在中加入或,得到的都是复数域. 更深层次的原因是,不可约多项式的根在代数上是没有办法区分的,加入『不同』的根,得到的扩域在代数上没有区别(同构)——这是伽罗瓦理论告诉我们的。不过在这里我就不多说了=w=

那么就这样=w=  

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