英语专业该不该学数学 数学该不该被踢出高考？数学有什么用处？

在D的经历和思考（上）

　　毕业后我在大学D任教。D是老牌名校，是美国综合性大学第二梯队的一个典型代表（BC属第一梯队）。我在D大学教过从大一到大四的来自各个院系专业的学生，有的课还是人数颇多的大课。和以前一样我只能通过数学能力来了解学生。

本科生入学水平远弱于BC

　　有些人在我看来需要重修高中乃至初中的一些数学课。个别人连小学数学（如分数的四则运算）都不熟！这绝不是我个人的偏激看法。比如学校出的关于新生数学能力的诊断性考试题竟然要考察自然数的四则运算，分数的四则运算，一元一次方程等（当然后面会考到高中的复数极限导数等）。而多数新生在这样简单的考题上竟只能拿到一半分。更可怕的是，他们中很多竟然敢于免修第一门微积分课（直接上第二门）……

教学困境

　　显然，在这样的情况下想让学生知其然也知其所以然已成了几乎不可能的任务。一些刚从象牙塔毕业的青年教师（我是其中一员）对此没有思想准备。我试图保住一条底线：最起码我要解释教科书上写了的东西让他们在学完后能看懂教科书。但即便这样低的目标我也根本达不到而以惨败结束。比如我一直耿耿于怀的一件事是：我教的微积分学生可能几乎没有人明白积分的定义……直到第二年我才从更有经验的人那儿了解到：不要试图准确描述基本概念，也不要花较多时间解释主要思路动机或多问为什么（因为这对学生来说实在太难了……而且会遭到学生的强烈反对）。

　　那么是不是说在所谓“素质/启发性/创造性/实质性”教学完全走不通后只有“填鸭”教育一条路让学生会算一些题就行了呢？事实上由于没有大学B那样强的（类似于中国高中的）管控体系，我们连“填鸭”的能力也没有。

　　最终的结果是通常已经有所放水的期末考试常常是多数人无法及格。而且低年级的劣质情况积累影响中高年级，甚至导致系里不得不把一些有多年历史的中高年级的课程内容砍掉1/3以上（但之后仍是大多数人考不及格……）

　　我刚到学校时曾与系里一位老教授攀谈，当谈及基础教育失败导致学生数学能力极差且有越来越差之势时，这位曾上过战场的老头竟然控制不住在我面前哭起来。我在教了好几门课后开始明白他的痛苦了。

学生有自由但反受耽误

　　另一件让我印象深的事是：D没有让我觉得学术上拔尖的本科学生。到了高年级确有一些功课学得很好也有心向学的人。我给过他们一些进一步发展的意见指导，但无一例外地发现他们学过的东西非常非常少，对学科的理解则基本还停留在新生和科普水准。在了解了他们在本科三四年中的学习经历后我发现他们基本上都有几个问题：

　　1 在中低年级并没有完全想清楚自己未来要干什么，因此花了不少时间去体验其他的专业以及很多“通识课”。大学自由灵活的体制也鼓励他们这么做。

　　2 以为自己所有的专业课都学得很好就行了。

　　这样做有啥问题呢？问题在于他们被真正拔尖的孩子（其他学校的和外国的）甩开得太多太多了：三四年前大家的起点差不多，而现在别人“轻舟已过万重山”高出他们好几个境界去了。怎么会这样呢？这是因为最拔尖的学生具有很强的目的性（我一定要当科学家），自我指导性（给他足够的书，他自己就能钻研出来）和自我激发性（学得越好就越不满足甚至越焦虑）。

　　D大学的好学生没有这么强。但是如果他们从大一开始就坚持贯彻明确的专业培养计划，他们和最顶尖学生的差距不至于这么大（起码学的专业课会多得多）。而现在我只能指出他们的学术基础太薄弱（很多基础专业课没学），并开出长长的课单书单。但我知道他们没时间了：毕业期申请期快到了，一些孩子也痛苦地意识到：自己看似没有什么问题的学术之路，实际上导致自己已经输在起跑线附近（如果以成为一流学者为目标的话）。

坚持贯彻明确的专业培养计划这其实是中国大学的办法。中国大学给学生转专业和定专业的自由远不及美国学校。这当然导致了众所周知的学生不得不学不喜欢的专业的问题，但也保证了次好的学生在愿意走此专业道路时不至于落后先进太多。这些次好的学生（假设在中国最顶尖学校）的学术竞争力强于大学D的上述好学生（虽然D的科研和教授实力目前肯定强于中国最顶尖学校）。

　　我知道中国一些大学近年来喜欢搞所谓“宽基础”的综合性强的“XX班”，并赋予这些班的学生广泛的专业选择权。但我也了解到很多这样的尝试产生了不小的负面后果（比如事实上削弱了学生的竞争力），在有些学校甚至导致了公开的矛盾冲突。D大学和中国的实践提醒我们，“宽基础”、“通识”培养体制存在的弱点：最顶尖学生不会因此更厉害，但次顶尖学生可能会严重落后（并在某个时候遭遇信心重挫）。

在D的经历和思考（下）

　　上文讲到大学D的新生基础太差，导致教学质量很差。这其实对学生的伤害最大。最直接的一个表现就是：

数学科学死亡行军（math-science death march）

　　这是纽约时报一篇长篇文章链接出处中强调的一个词。这篇文章主要讲的是：为什么有很多爱好科学有志于学习理工科的孩子，到了大学学习两三年后纷纷转专业？——因为理工科实在是太难了（so darn hard），特别是孩子们无法战胜低年级的数学科学死亡行军（math-science death march）。

　　But, it turns out, middle and high school students are having most of the fun, building their erector sets and dropping eggs into water to test the first law of motion. The excitement quickly fades as students brush up against the reality of what David E. Goldberg, an emeritus engineering professor, calls “the math-science death march.” Freshmen in college wade through a blizzard of calculus, physics and chemistry in lecture halls with hundreds of other students. And then many wash out.

　　这篇文章本身没什么大不了，最有价值的其实是后面的1000多条读者评论。其中有大量认真撰写的长评论，我强烈推荐英文好的人看一看（顺便说一下，英文主流媒体常有读者评论比正文有意思的情况）。除了一些有些离题的抨击外国人或华尔街抢饭碗外，评论中出现了两派：一派有很多学生，指责大学要负极大责任：如教授高高在上，所学内容过于晦涩，教学方式过于呆板等等；另一派有很多大学教师和老工程师（很多人上来先亮身分：我做XX/我教XX已经多少年了……），这一派认为主要是学生水平太次，不如自己这一代人。我虽然比学生大不了多少，但我属第二派（屁股决定脑袋？）。大学教学固然可以挑出毛病，但在学生的极薄弱理科基础（尤其是数学）面前都属于小问题了。

　　我对这件事（数学科学死亡行军）有直接的体会，亲见一些有梦想上进心强人其实也算聪明的学生由于搞不定我讲的课（也许还有其他课）而基本上丧失掉了追求梦想（探索科学或者做工程师）的可能。我观察过一些常来问问题的学生，发现糟糕的中小学教育导致他们脑子里的知识点处于一团乱麻的状态（可能比没学过还糟糕），而这种状态又进一步导致他们有条理的梳理组织思路的能力极为欠缺。即使我问一些他们中学学过的东西，他们往往都会很快暴露出这些问题来。

把问题带到下一个阶段

　　也许有读者会说，我这个学究要求太高，很多学生准备做应用技术或商业金融，不需要把基础课学那么好。但我强调的其实是，即使是只要求不求甚解、照虎花猫地使用，不少学生也有不小困难。如果要打一个比方，我觉得可能类似于要一个只认识1000个汉字的人读报纸。以我们输出的学生水平看，很多人要想在实际工作中（比方说）考虑优化问题分析处理信号或者分析稍复杂的统计数据，势必感到吃力而且缺乏变通能力（这点从他们做应用题就能看出）。

　　一些对中学教育很愤怒的大学教授用“garbage in, garbage out”来描述这种情况：高中送给我们基础太差的学生，导致应用专业毕业的也是基础很差的学生，而这又进一步影响到工业界。我可以告诉在工业界工作的朋友一个秘密：除非你的工程师来自第一梯队大学（最有名的那六七所），否则你得假设他的成绩可能水分很大，特别是数学基础课（因为数学系通常在学校里较弱势不敢得罪人）。比如如果他的成绩为B，这其实可能意味着他实际成绩不及格……

====节选二：分析美国目前获得第一流地位的客观因素====

美国获得第一流地位的“经验”对中国借鉴意义不大。

　　那么美国是如何做到这么强的呢？我的看法是：

　　1 美国的人口对任何其他发达工业国都具有压倒优势。从科学圈的角度看，这人口不仅指美国的三亿人，也包括加澳两国和部分英国的。

　　2 二战导致了人类近现代史上最大规模的科学人才转移。转移目的地是美国。其实虽然美国在19世纪末就是第一工业国，直到20世纪30年代初世界科学中心仍在欧洲，特别是受一战重创的德国法国。然而仅用短短10多年，希特勒就重画了世界科学版图。我愿举一个很有代表性的例子。国际数学家大会是4年一次的全世界所有分支数学均参与的大会，具有很广的代表性（其他学科没有这么全面的大规模的全行业大集会）。1932年国际数学家大会，20个全会报告只有两个是用英语作的（读者可以由此想想当时美英在国际学术界的地位）。之后希特勒上台，二战来临，在1936之后就14年没开会。到再下一次（1950）时，22个全会报告有20个是用英语作的，英语也从此有了国际学界的绝对统治地位。

　　3 苏联解体导致了人类近现代史上第二大规模的科学人才转移。苏联人才转移对生化可能影响小一些，但对数理科学来说可是极为壮观：这是从20出头的天才大学生到80多岁的泰山北斗的全体系的迁移。转移的人少数被欧盟吃了，大部分被美国吞了。

　　4 在美国的基础科学于二战后取得西方阵营的独大地位，以及冷战后取得全世界的独大地位后，有能力输出第一流后备人才的国家（如中印等）的一流学生蜂拥而至，更使美国如虎添翼。

　　其他的因素（比如很多人津津乐道的“体制”、“创新精神”、“自由”等），即使是有利因素，其影响力也和上述因素不在一个量级上。

　　对中国而言：因素1天然具备，在经济赶上来自然就会发挥作用；因素2、3可遇而不可求（多半是不可遇）；因素4属于已经成第一科学强国后的锦上添花，对如何做到第一没什么用。

====节选到此为止====

这篇文章让我再次回顾以往思考过的老问题，即中国科举制度真的全都是坏处吗？泼洗澡水把孩子也泼掉的事情我们以往干得还少吗？简单否定高考制度应试教育，包括这种所谓的“让数学滚出高考”的群众呼声，是不是依然是极端思路的老调重弹，背后反映的不过是思考上的偷懒呢？

两年前读一本书 ，发现原来就在上个世纪70年代（距今也不过40年），美国中学的写作教学水平还那么低啊，老师出大而空的作文题，学生无法下手写作。书的作者慢慢摸索出写作应该是从写一个具体的小事情入手，可这一切在工业革命先驱的英国（初等教育的普及也远早于美国），早就解决了呀。读这本书，感叹：美国到底历史浅，好些事情也只能从头一点点摸索。

而读 则再次认识到，若非天时（客观条件）所赐，仅凭本土中小学教育的积累，美国基础科学不可能在短短几十年里取得这样巨大的进步。

回头看写作 的吴军博士，他的恩师贾里尼克便来自东欧捷克的犹太家庭（），二战期间逃到美国。

再来看看下面几个说到了数学为什么重要的故事：

第一个故事：

节选：

「发明之父」为什么债台高筑？

正规教育和非正规教育的差别，可从爱迪生和特斯拉（Nikola Tesla）在直流电和交流电之争看出。特斯拉是塞尔维亚工程师，受过严谨的数学教育（现在核磁共振所用的单位即为Tesla，它是测量磁场通量密度的国际单位）。

他刚到美国时，是替爱迪生做事，他看到直流电的不可行，主张交流电。但因爱迪生只上过三个月的学，不懂交流电理论，加上他已投资直流电，便坚持直流电。最后，爱迪生为此债台高筑，连他创办的爱迪生奇异公司（Edison General Electric），也被改为GE，把他除名了。

爱迪生有创造力和企业力，但缺乏数学和复杂理论的洞察力。所以特斯拉说，爱迪生用的方法效率很低，做事情是事倍功半。他说，爱迪生若知道一些起码的理论和计算方式，就能节省90%的力气。

（作者是台湾著名教育专家）

第二个故事：大出版家、商务印书馆总经理王云五为何重视数学

自称为杂家的出版人王云五，在谈及出版体会时，又特别强调数学和图书馆学的重要性，以为是出版人必备的基本功。王云五的数学体会，是来自他12岁回广东老家时，因经常与一位堂房伯父一起赶集，得有机会随这位伯父学习心算和珠算，“由此一生养成计算的习惯；无论做任何事，须要计算其利害得失，究竟利与害孰多，藉为判断的标准。”他说“我一生得之于算学很大”，批评“中国人不注重算学，这是很坏的现象”，认为要得到正确的思想，一要靠幻想，因为这是创新的源泉，但同时，又不能不有数学的训练，只有这样，才能保证“思想正确”，“一加一一定是二，二加二一定是四，那末，不独学理工的人要学高等算学，就是学文学的人也要学高等算学”。王云五在商务出版了许多超大型丛书，成本既高，风险亦大，结果往往成功，这与他事前反复的持筹握算、周密的风险预估，是密不可分的。王云五的学生、曾任台湾商务印书馆总编辑兼总经理兼发行人的徐有守回忆说：笔者任职数年期中，每年必发行大部头丛书二、三种，所费资金庞大。若其中有一部滞销，则书馆有立即倒闭之可能。因而每筹印一书，师生二人，常在云五先生窄约仅二坪局促之董事长办公室反复核计、预测、讨论其印行之可能性。踌躇再四，数月始决。

第三个故事：巴菲特的合伙人查理芒格非常重视数学

”他是我遇到的最渊博的思想家。从经商原则到经济规律，从学生宿舍的设计到游艇的设计，他都没有对手。“——比尔.盖茨

能得到曾经的世界首富这般夸赞的，世间恐寥寥无几，甚至只有一个人当得起这样的赞誉，他，就是连巴菲特都由衷敬佩的合伙人——查理.芒格。 ——这本汇集了查理.芒格智慧箴言的好书，每天都放在我桌子上，时不时都会拿起来翻几页，想一想。

毕业于哈佛大学法学院，但他却终生喜爱数学，经常强调学习数学的重要性。他有一段关于对商业进行分析和评估的著名论述——

「

你必须知道重要学科的重要理论，并经常使用它们——要全部都用上，而不是只用几种。这些学科包括历史学、心理学、生理学、数学、工程学、生物学、物理学、化学、统计学、经济学等。

首先要掌握的是数学。很明显，你必须能够处理数字和数量问题，也就是基本的数学问题。

除了复利原理之外，一个非常有用的思维模型是基本的排列组合原理。这是非常简单的数学知识，帕斯卡和费马在一年的通信中完全解决了这个问题。要掌握排列组合原理并不难。真正困难的是你在日常生活中习惯于几乎每天都应用它。费马-帕斯卡的系统与世界运转的方式惊人地一致。它是基本的公理，所以你真的必须得拥有这种技巧。

...在哈佛商学院，所有一年级学生都必须学习的定量分析方法，是他们所谓的“决策树理论”。他们所做的只是把高中代数拿过来，用它来解决现实中的问题。那些学生很喜欢这门课程。他们为高中代数能够在生活中发挥作用而感到惊奇。

」

查理芒格提到的决策树理论，可参见这篇文章：

节选：

数学在技术经济研究中起着很重要的作用。常用的数学方法有以下几种：

①普通数学法主要是运用加、减、乘、除、等式运算、代数等方法计算各种技术经济指标，例如计算成本、投资、经济效果等。

②数学分析法，数学分析法主要是微分方法和矩阵方法。矩阵方法在技术经济中的应用最主要就是投入产出法的应用。

③运筹学方法，在技术经济评价中应用较多的运筹学方法，一般是线性规划、非线性规划、静态规划和动态规划这几种。

④数理统计和概率论方法，在技术经济评价中，需要处理许多社会经济现象和自然现象，而它们有不少是比较复杂的、在目前还没有找到一定的规律性，因此，必须利用概率论和数理统计方法来处理这些现象，为解决技术经济问题提供科学依据。概率论和数理统计在不确定情况下的技术经济评价中的应用有以下几种方法：技术经济期望值法、技术经济模拟法、技术经济决策树法。

===

我们也许很难像查理芒格那样，成为世界首富巴菲特的合伙人，需要面对复杂的投资项目来做投资决策。但是，在不可能再忽视学习理财知识的现代商业社会，我们每个人都面临着如何让自己的财产增值的切身问题。创业开办公司的自不必说，就是工薪阶层，也得懂得复利原理，了解各种金融产品的投资回报率，学会用决策树分析法来为自己投资理财。

第四个故事：

这是书中的一章，也因为书中讲到了这么有趣的数学应用，不少文科生也买来阅读。

余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事，但是它们确有紧密的联系。具体说，新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。

Google 的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。（有兴趣的读者点开 看全文，便会发现中学学到的余弦定理，居然有着这么大的用处！）

==数学之美==

>>>清华大学的李星教授在给写的推荐序（）中写道：

我读这本书有下面几点体会，供大家参考。
（1）追根寻源
本书用了大量篇幅讲了各个领域的典故，读起来令人兴趣盎然。典故最核心的是相关历史事件中的人物。我们必须要问：提出巧妙数学思想的人是谁，为什么是“他/她”提出了这个思想？其思维方法有何特点？成为一个领域的大师有其偶然性，但更有其必然性。其必然性就是大师们的思维方法。
（2）体会方法
从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：
牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”这个原理也贯穿了《数学之美》本身。

WWW的发明人蒂姆•伯纳斯•李谈到设计原理时说过：“简单性和模块化是软件工程的基石；分布式和容错性是互联网的生命”。虽然在软件工程和互联网领域的从业人员数量极其庞大，但能够真正体会到这些核心思想的人能有多少呢？我给学生出过这样的考题“把过去十年来重要IT杂志的封面技术介绍找来，看一看哪些技术成功了，哪些技术是昙花一现，分析一下原因？其答案是很有意思的“有正确设计思想方法的技术”未必能够成功，因为还有非技术的因素；但“没有正确设计思想方法的技术”一定失败，无一例外。因此，我也建议本书的读者结合阅读，体会凝练创造《数学之美》的方法论。

（3）超越欣赏
数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。《数学之美》把数学在IT领域，特别是语音识别和搜索引擎方面的美丽之处予以了精彩表达。但在这里我想说的是欣赏美不是终极目的，更值得追求的是创造美的境界。希望本书的读者，特别是年轻读者能够欣赏数学在IT技术上的美，学习大师们的思想方法，使自己成为大师，创造新的数学之美。

还推荐大家看看吴军老师的视频：

数学不赚钱为什么外国人照样钻研，为什么西方和美国取得那么多数学成就。不是说他们生活节奏快，心理浮燥吗？他们都是傻的不如中国人会赚钱吗？那当然不是。依法赚钱他们都比中国人强。法治水平高的国家里的国民，才是又会赚钱又喜欢“无用的科学”。中国人什么都讲实用，没有收益的表情都懒得浪费，无故的笑脸连对孩子都舍不得施舍一个，哪里会主动选择学习没有实用功能，不会赚钱的学问。

中国人正在实用和成功，浮华和享乐的流水线上高速旋转。本文的观点显然很不合时宜。但是，我感到困惑的是，我们不是有一代人已经非常有钱，无论怎样征遗产税，他们的孩子们（就算明里暗里有限地超生了几个吧），也会享不尽的荣华，而断无物质方面的忧虑。这样的家庭，正应该让孩子发挥天性，追求自由和个性。如果他是一个数学天才，为什么不让他成长为真正的数学家呢？如果穷人的孩子读书难免要为了求生存，那么，富贵人家的孩子，为什么不可以去追求“无用的知识”呢？

但是，看起来我们这一代富贵的长辈们还没有这么想。他们无论有几个孩子，都想送到富贵道路上去做他们的接班人。更何况穷人的孩子。另一方面，全社会也没有追求纯粹知识和理性的土壤。

那么，中国的未来仍然不会有人类最好的数学家和哲学家。而这不是一个有着辉煌未来的民族的气象。一个国家在超越了“求生存”的界线之后，就应该求发展。而一个民族的高度不是以有多少天才的头脑在做官和发财，而是以数学和哲学这种抽象能力和成就来衡量的。上帝奖赏追求纯粹知识和理性的民族。」

>>推荐一个讨论数学的用处的系列文章，作者是毕业于卡耐基梅隆大学的博士，他目前是美国谷歌无人车项目组的工程师：

>>推荐BBC系列纪录片：《数学的故事》

【BBC记录片：《数学的故事》】学好数理化，走遍天下都不怕！那些曾经被数学虐过的小伙伴们快看过来！第一集 宇宙语言 第二集 东方奇才 第三集 空间边缘第四集 超越无限

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