爱华网抽象的东西真的抽象嘛？以苹果为例：人们觉得苹果是非常具体的事物。一说到苹果每个人都知道是什么。但是如果让你真正跟我说什么是苹果，你该如何定义？你去查查维基百科你看苹果的定义依然会觉得很抽象。但是一旦知道它能吃、红色，圆形，有个把，表皮有些脆，有些甜，你就会觉得不那么抽象。如果再把它拿到手里来把玩一下，你更觉得这就是那个熟悉的苹果嘛，没有任何的复杂。其实，当你觉得一个事物是抽象的或者无法理解的，这仅仅表明你对这个事物不够了解。而反过来当你获得了一个事物足够多的例子和性质后，你便不再认为它很抽象。试想一下：如果你不知道苹果有这些性质，你还会觉得他具体吗？我现在告诉你有个叫同调果的东西，你知道这是啥嘛？你只知道他起码是个果子。但即便如此，你的理解依然是通过一些熟悉的例子和性质。你在思考：嗯，或许同调果也可以吃吧！嗯，或许也甜甜的吧。（同调果是我硬创造的东西。倒是同调(Homology)是数学当中同调代数里一个很重要的工具）
学习数学也是一样的。但是数学有一点特殊，让初学者摸不到头脑。在数学里，为了让一个数学理论尽可能的普适，数学家们不愿意谈论具体的事例，而是把焦点放在刻画这些事例的性质上。以向量空间为例。其定义并不谈论具体什么是向量空间，而告诉我们一个空间要成为一个向量空间必须具备那些性质。因此你会发现能够称得上向量空间的东西有很多。这种特性或许让很多数学初学者感到害怕。他们心想：如果都不知道我谈论的东西是什么我还怎么思考这东西所具有的性质？听起来似乎很有道理，但是请你仔细想想：第一，你真的在乎事物本身是什么吗？当饿的时候你思考的不应该是哪个东西能吃吗？还是你思考苹果这个东西本身然后再想到它能吃？第二，你真的可以做到绕开事物的性质而定义一个事物吗？第三，正是因为数学不谈论事物本身而谈论事物的性质，它的理论才具有无穷的可延展性和普适性，而这才是数学强大的地方。
还是以向量空间为例，初学者应当如何把它从抽象变到具体呢？当然是试图找到足够多的性质和例子。最典型的例子就是欧式空间(Euclidean spaces)，而最简单的性质就是维度。如果你觉得高维欧式空间很难想象，那就想二维嘛。二维是个平面，画一画图便于理解。甚至你可以只要看到向量空间就把它当做二维欧式空间。即便有点极端，依然可以帮助你理解什么是向量空间。当你获得了足够多的性质，例如有限维或者无线维，和例子，例如欧式空间和函数空间后，你就开始对向量空间有一定的了解，慢慢倾向于认为向量空间也很具象了。事实上，给一个完全陌生的东西，一般没有人一看定义就对所定义的东西理解的鞭辟入里。一般在研讨会(seminar)里，一旦演讲人阐述一个在座的老教授都不太明白的东西，在座的老教授们一般直接吼出来：给我个例子！给了个例子之后，有些人就会开始觉得：“哦，大概是这么个东西。嗯，不过似乎和我想的不太对劲”，“啊，或许是这样的吧”等等。相信我，他们也会有些一头雾水。如果想要了解的更多，他们会回家自己去找更多的例子和更多的性质来帮助理解。当然，他们研究数学这么多年，理解的过程自然很快。但这不代表他们可以直接思考抽象的事物而从不需要借助具体例子。（似乎Grothendieck可以做到直接思考抽象的东西。但是，神也必须有两把刷子才能被称作神啊！）
其实真的没有人能够想象到5维空间，10维空间。没人能够看到，相信我。那么历史上数学家们是如何探索这些抽象的数学结构的？以人类探索微分几何为例。刚开始其实人们没那么高大上，数学家们只会2维曲面。没错，就是嵌入在三维欧式空间中的二维曲面。美工好一点的人只要画画图就可以看到它们长什么样子。事实上当时还有人研究1维曲线的。连我这种没画画天分的人都可以随便一画得到个曲线的示意图。而高维几何物体的研究完全是在人们清楚了曲线和曲面的性质后才展开的。那么又是如何开始的？数学家们需要寻找一个足够强大的定义，它既包含了我们熟悉的曲线和曲面，又适合被用来描述了高维物体。经历了一段时间的寻觅，数学家们才有了流形(Manifolds)这样的概念。但流形是一个完全陌生的概念吗？并不是！1维和2维的流形就是曲线和曲面。那有人会问：“怎么获知高维几何的例子和性质呢？这些高位的东西我们完全看不到啊！”。这不是数学家想象力足够大，而是它们用直觉和数学推理来帮助他们实现这个目标。一个人的直觉来自于对熟悉的东西的性质和例子的掌握。当时，人们已经非常清楚曲面和曲线的性质了。而数学推理是数学家把这些低维的直觉延展到高维时所必须使用的工具，保证这些直觉在高维时的有效性。这时候数学证明严谨的重要性就体现出来了。所以，并非数学家长着一双奇特的眼睛可以看到高维几何，而是大家也经历了从不熟悉到熟悉从不理解到理解，并且从人类历史的长河来看，这段时间实在不短！
谈到直觉，另外一个领数学初学者郁闷的东西是：反直觉的东西在数学当中非常多。数学体系非常特殊以至于人们从生活当中获取的直觉不再有效。失效的原因其实在于人们从生活当中所获取的很多经验是非常模糊的，不够精确。以一维勒贝格测度(Lebesgue measure)为例。粗略地说，一维勒贝格测度是长度这个概念的精确化，而测度无非是长度的文绉绉的说法。例如，[1,8]闭区间长度是7并且无论我们怎么在一维数轴上平移[1,8]，长度保持不变。这些性质都很符合我们日常生活的直觉。似乎一维勒贝格测度的确是长度这个概念很好的推广。但是一旦这个概念被精确化，除了符合我们直觉的东西的确还在（否则就不是精确化），反直觉的东西也随之而来。比如，是不是数轴上任何集合都存在一个长度呢？答案竟然是否定的！换句话说，总有那么一些奇异的集合根本不具有长度这个属性。除此之外，数轴上所有有理数放在一起程度是零！有理数不是很多吗，怎么会没有长度？又例如无穷多个“稀稀疏疏”不连续的点放在一起长度可以大于零。有长度的东西怎么说也要连成一条连续的线吧，稀稀疏疏的点放在一起怎么会有长度？种种这些反直觉的东西不是在告诉你数学是多么无法理解，而是告诉你应该如何正确地思考数学。那就是：你需要抛弃那些错误的直觉来逐渐建立正确的数学直觉。数学家们的的确确需要直觉，但是需要的是正确的数学直觉。而正确的数学直觉无外乎是依靠大量的例子和性质获得的。
所以学习数学里抽象的事物并非不可做到但也同时没有捷径可言。与其说数学是抽象的不如说数学是复杂的。而复杂的事物千千万，数学并不特殊。
