爱华网让我们介绍一个定理：（孔多赛陪审团定理）。
假设我们现在面对一个问题，我们希望通过投票的方式得到答案。p 是每个投票者投对的概率，那么：
当 p > 0.5 时，随着人数的上升，通过简单多数制得到正确答案的概率趋近于 1。
当 p < 0.5 时，随着人数的上升，通过简单多数制得到正确答案的概率趋近于 0。
当 p = 0.5 时，随着人数的上升，通过简单多数制得到正确答案的概率依然是 0.5。……
对于事实性问题，几乎没有人会认为这类问题应该通过投票的方式来解决，即便是在科研界也是一样的，因为第一种情况下的条件不会达到。常见的情况都会更类似于第二种。在一个正确的学说兴起的初期，腐朽的老旧学说在学界内的拥护者依然是大多数。因此如果此时你用简单多数制来否认这个东西的话，那么科学范式的转化就不会发生了。当然，科学范式转化过程中的阻力就是这种东西了。
什么情况下我们需要用投票的方式来解决一个问题呢？更为正常的情况是当我们要用投票来汇集偏好的时候。偏好和事实性是没有关系的。通过这种方式来表达自己的偏好或者利益诉求是没有问题的。更重要的事情是我们需要意识到这里并没有一个叫做「群体偏好」的参数。这个参数可以由你虚设出来，但是它从根本上来说是不存在的东西。就和社会调查统计的「平均工资」一样，仅仅是一个压缩过的信息罢了。将群体偏好视作一个实体是一个非常危险的事情。我们拥有的事实仅仅是每个人具体的偏好，而试图断言群体的偏好本身就是一个错误的语言使用。因此在投票作为一种汇聚偏好的手段的过程中，从一开始就没有「发现客观事实」的成分在其中。更多内容 cf
然后是这个具体例子中的分析。
首先任何政治问题都不是单纯的，或者说，物理事实那种意义上的事实。因此我们可以认为这里有一个社会意义上的事实，就叫社会事实好了。这个事实本身是什么正是由大多数人持有一种什么立场（偏好）所决定。从适向性（direction of fit）上来说：
物理事实：命题需要符合事实，不可能反过来。也不会因为大多数人的信念改变而改变。
社会偏好：单个的个人的信念偏好几乎不会直接影响社会偏好这一事实（除非恰好处在一个平局的情况下，比如说五个人喜欢甜的，五个人喜欢咸的，你喜欢什么，社会的绝大多数（即，超过半数的人）就喜欢什么）。但是，社会偏好的事实本身受到构成社会的大多数人的影响，即，一般来说，大多数人的偏好就是社会偏好。
个人偏好：我喜欢什么，什么就是我的偏好，物理事实可以与我的偏好相符（我喜欢它），或者不符（我不喜欢它）。我的偏好不必反过去符合物理事实。
接着谈一下概率问题。以 53% 这个概率来算，假设脱欧是实际上的社会偏好，并且，任何一个个体有 p = 0.53 的概率「正确选择」这个偏好，并且假设他们的两次选择是独立的，那么在第二次选择的时候，和第一次选择的结果不同的概率高达 49.82%。这和一半很接近。事实上，直到 p>0.72 的时候，反悔率才会低于 0.4（然而这个值也很高了，所以请不要对 p = .53 这个假设有意见）。此外，注意到这是一个一元二次函数的取值，实际上当 p<0.28 的时候也会小于 0.4，因此反悔和民众傻不傻逼没有关系，只和民众坚不坚定有关系。（在如下意义上谈论傻逼：一个考试拿 72 分的人比一个考试拿 53 分的人「聪明」，这又比一个考试拿 28 分 的人更聪明，然而并没有什么用，极端的智者和愚人都是非常坚定的，而大多数平庸的人都是摇摆不定的。然而民主的意义就在于汇集大多数平庸的人，毕竟极端的智者和傻逼都是少数，就算是爱因斯坦也只有一票。）
民主的意义不在于每个人都是理性的，都经过了长时间的深思，这是荒谬的要求。其价值在于，能够从多样性的结论下汇总出一个正常的结果。
此外，就算是对于客观事实，而不仅仅是偏好的汇集，民主有时候也能得到很好的结果。两个例子（当然类似的例子有很多）：
牛的重量。一群人在猜一头牛的重量，每个人写下一个数字，写得最接近真实重量的人可以得到牛。最后从结果上来看，虽然大家的猜测分布很大，一些非常离奇的答案都有，但是，其平均数却和牛的真实体重非常相近。
糖果。一个罐子里面有一堆糖果（我记得是三位数），叫人们在不去数的情况下猜糖果有多少个，最后的平均结果和实际真实值的偏差是非常小的（我印象中是个位数的差距），虽然各种稀奇古怪的答案也都有，最大和最小猜测值可能相差了一个数量级。因此可见，民主的价值并不是说每个人的结果都去往正确结果更加靠近。事实上，很容易举出范例：虽然每个人的结果都向正确值靠近了，但是实际上平均值却偏离了正确结果：
假设正确值是 10。
第一组三个人分别猜测：9, 12, 13；平均 11.3。
第二组三个人分别猜测：1, 14, 16；平均 10.3。
显然第二组三个人的猜测都更加远离了第一组，然而第二组的平均值却比第一组的更接近 10。我们可以通过做一点简单的数学计算得到一个更为普遍的结论。
用表示 n 个人的猜测值，用表示真实值，用表示的平均值。
容易验证：。
可见，在固定 n 的情况下，每个点到真实值的距离和越小，并不直接保证平均值越接近真实值，同时还需要多样性（方差）足够大才能保证这一点。因此，在这里指责一个群体中每个个体和真实值偏差太大是没有意义的。同样地，指责他们变卦也毫无意义。
问：为什么科学事实的情况感觉会更加不适用呢？
举燃素的例子，假设对于过去受过传统正统科学训练的人来说，燃素毫无疑问存在。那么，实际上对于这一个整体来说，他们如果在投票中要占据比例的话，不应该按照人头数 n 占比，可能只应该算一个人，或者，如果他们并不是完全遵从于当时的科学教导，还有一点点叛逆精神的话，可能可以是打个折扣，比如说每个人的权重占 0.1 张票。在只有一个观点是主流的时候，我们就已经不能区分这个观点到底是个体真正的观点，还是个体随大流做出的选择（即，这个个体实际上并没有动用认知能力做出选择，它默认了这件事情是应当的，而根本没有比较或者考虑相反情况的可能性），常见的例子包括但不仅限于：纳粹、文革、邪教、传销等。在这种情况下进行民主投票并不完全是没有意义，而是我们需要意识到，这个群体本身并不像其中所拥有的那么多人数那样有着如此这般多的独立投票者，即，其结论的置信度甚至未必比得上 100 个独立的大脑进行投票得到的结果。——如果我们能有效得将其中同质的群体等同起来的话，那么我们的确也有从这种混乱中找到正确的可能。这是代议可能好的地方，但是另一方面，需要注意到，政党的建立本质上是一种权威的建立，这对于多样性的影响是负面的。因此，……
相对应地，如果是让足够多人们去选择关于一个人们都不熟悉的领域的两个竞争理论哪个正确的话，大多数人由于只能瞎蒙，因此他们的选择并不影响结果，而剩下来的就是小部分科学精英了，这个时候的判断就自动变回了专家投票。然而专家投票到底好不好呢？又到底反应了什么呢？那就不知道了。
最后吐槽一下苏格拉底。
苏格拉底被投死，本质上是投票设计的问题。在苏格拉底申辩之前，大多数人还是没被激怒的，但是，当大多数人被激怒之后，投票的性质就改变了。原本应当是苏格拉底是否应该死，但是实际上的投票结果反应的结果是：苏格拉底的言论是否让你愤怒。而中间如果真的要严谨的话，这漏了一个额外的投票环节：如果一个人让你愤怒了，他就应该死。于是这就造成了一个滑坡。（主要是因为，愤怒并不是一种东西，我辱骂你一句会让你愤怒，我杀你全家也会让你愤怒，所以本质上来说这个问题是没法问的，只能问每个具体的愤怒是否应该对应这个具体的惩罚。但是这就又回到了一开始那个投票的议题上了，所以实际上要说清楚是很困难的事情。）
当然了，如果要说的话，这里面本身可以深究的内容还有很多，比如说苏格拉底自己也是想死的，有些人在投票的时候就是觉得说我应该表达一下愤怒，反正你会逃走的。因此真的要说的话，拿苏格拉底的死反民主果然还是不太合适。说白了还是苏格拉底太把参与投票的人当人看了。苏格拉底并不是没有机会逃走，而投票者也未必就真的相信给苏格拉底一个教训就会将其置于死地。因此这个具体例子的论证效力实际上是非常弱的。
补充一下，其个地方本身隐含着阿罗不可能性定理（）的运用。
定理（Arrow） 在候选项个数大于或者等于 3 的情况下，不存在同时满足非独裁、独立无关和一致同意性的投票机制。或者说，在候选项大于 3 的情况下，满足独立无关和一致同意的投票一定是独裁的。
定义：
候选人。候选人是一个至少有两个元素的有穷集 X。
选票。选票是对于候选人的一个线性排序，即 L(X) 的一个元素，其中 L(X) 表示所有 X 上的线序构成的集合。（一般说线序会要求严格线序，即 ，但是不可能性定理对于非严格线序也是成立的，因此这里不做区分）
投票人。投票人的整体总是一个形如的集合，每个投票人对应一个自然数。profile（不知道怎么翻译）。一个 profile 是 n 个选票组成的集合，或者，更准确地说，是 n 张选票构成的 n 元组。每个投票人对应一张选票。
社会福利函数。社会福利函数是一个将一个 profile 聚成一个候选人线序的函数（函数输出的结果从本质上来说和选票是一致的，也是一个 X 上的线序），即，从所有可能的 profile 到所有可能的 X 上的线序的函数。当 n 固定的时候，这就是一个函数，当 n 不固定的时候，这相当于是一个。
独裁。一个社会福利函数是独裁的，当且仅当，存在一个投票人，使得社会福利函数的结果总是（即，对于任意 profile）和这个投票人的选票相同。
一致同意。一个社会福利函数具有一致同意性，当且仅当，如果所有人都认为 a < b，那么函数输出的结果也有 a < b。
独立选项无关性。一个社会福利函数具有独立无关性，当且仅当，新选项的加入并不改变旧排序（这是在拓展候选人的情况下），或者，考虑两个 profiles，如果对于每张选票，a 和 b 的偏好次序都不发生改变，那么结果中 a 和 b 偏好次序也不发生改变，即，对于两个不同的 profiles，如果这两个 profiles 中每个对应的投票者对于 a 和 b 的偏好次序都是一致的，那么，这两个 profiles 分别通过社会福利函数得到的结果中 a 和 b 的偏好次序也是一致的。
最后一点可以分别举两个例子：
拓展候选人的情况下。「请问您要喝点什么？我们有咖啡和茶。」「那我要咖啡。」「对了，我们还有牛奶。」「那我要茶。」——这违反了拓展候选人情况下的独立无关性。花样滑冰的比赛规则也在某种意义上违反了拓展候选人情况下的独立无关性。
在不拓展候选人的情况下， 例子比较难想。我就抄一段 wiki 中 Borda 规则（如果有 x 个候选人，那么每张选票上排第 n 名的得 x-n 分，最后按照总分排序）不满足独立无关性是为啥。（见：）
假设 3 个人认为 A>B>C>D>E，1 个人认为 C>D>E>B>A，一个人认为 E>C>D>B>A。在标准 Borda 记分法下面，C 得分 13，A 12，B 11，D 8， E 6。因此得到的排序是 C>A>B>D>E。
假设现在前面三个人的排序不变，后面两个人的排序变成了 C>B>E>D>A 和 E>C>B>D>A，即他们没有改变自己对于 BC 的偏好，依然认为 C>B。但是此时的 Borda 积分变成了 B 14 > C 13。因此 Borda 规则不满足独立无关性。事实上除非只有两个候选人（那么独立无关性就空洞成立了，因为没有第三个候选人能加入进来，此时几个常见的投票规则变成一样的，Borda 计分法 = Condorcet winner = 简单多数制 = 绝对多数制），几乎任何一个常见的投票都不满足独立无关性，毕竟很少有制度会牺牲一致同意性。哦，你说朝鲜以及其它国家啊。今天天气哈哈哈。
