戈比硬币甲藏起一枚 10 或 20 戈比的硬币，乙猜对则得到硬币，猜错则给甲 15 戈比。双方最优策略是什么？-爱华网

这就是一道博弈论的题目。

如果按照题目的描述，我们可能会画出这样一棵博弈树（也被称为博弈的拓展形式extended form）
从上往下，首先由甲选择藏起来的硬币是10还是20，再由乙猜测硬币，最后的收益，前一个是甲的收益，后一个是乙的收益。从上往下，首先由甲选择藏起来的硬币是10还是20，再由乙猜测硬币，最后的收益，前一个是甲的收益，后一个是乙的收益。
但是这棵树是有问题的：乙在决策的时候，其实不知道甲到底藏的是10还是20，所以其实正确的博弈树是这样的：
连上虚线的两个点，表示连上虚线的两个点，表示在同一信息集中（掌握了同样多的信息），这时候，我们可以把它等价地画成支付矩阵（也被称为博弈的标准形式或战略形式strategic form）
拓展形式的博弈树，通常用于表示博弈策略选择有前后顺序的情况（我们称为sequential game），而战略形式的支付矩阵，则表示博弈策略选择是同时进行的情况（我们称为simultaneous game）。在这个问题中，由于乙猜测时不知道甲藏的硬币是多少，可以认为乙是在甲藏硬币的同时进行猜测，因而可以写成战略形式的支付矩阵。拓展形式的博弈树，通常用于表示博弈策略选择有前后顺序的情况（我们称为sequential game），而战略形式的支付矩阵，则表示博弈策略选择是同时进行的情况（我们称为simultaneous game）。在这个问题中，由于乙猜测时不知道甲藏的硬币是多少，可以认为乙是在甲藏硬币的同时进行猜测，因而可以写成战略形式的支付矩阵。

接下来我们来求解这个博弈的解，这里就是它的纳什均衡。
纳什均衡的定义是，在均衡下，参与者不会单方面地改变自己的选择。
首先考察纯策略纳什均衡（双方都只用一种策略），由于格子少，所以我们可以逐格按照定义进行检查，当然也可以用经典的划线法：给定甲的策略，选出乙的最佳选择，再给定乙的策略，选出甲的最佳选择，如下图：
我们可以说，这时候不存在纯策略纳什均衡，任何一种结果下，都会有一方觉得自己本应有更好的选择。我们可以说，这时候不存在纯策略纳什均衡，任何一种结果下，都会有一方觉得自己本应有更好的选择。
我们转而寻求混合策略纳什均衡，就是双方混合采取多种策略。
混合策略纳什均衡的求解办法，如题主所做的那种是可以的，但这比较复杂，我们通常采用的是利用对手无差异性。
对手无差异性的含义是，如果甲要混合选择10和20，那乙无论选择10还是选择20，得到的收益应该是一样的。否则，如果甲选择混合策略之后，乙发现自己选择10的收益更高，那么甲应当预见到这一点，并转而选择20，这说明甲有更好的策略；反之乙如果发现选择20的收益更高也是同理。
这样一来，我们假定甲以p的概率选择10，1-p的概率选择20，那么由对手无差异性
10p-15(1-p)=-15p+20(1-p)
25p-15=20-35p
解得p=35/60=7/12
同理可得乙以q=7/12的概率选择10，5/12的概率选择20。计算结果和题主是一样的~

以上解答了题主提到的Vladimir Arnold提出的问题。

接下来解答题主的问题。
1. 此解法有一个假设，即『在游戏开始后策略不改变』。在该假设下，此解法是否正确？答：并不需要这个假设，因为原题说的是甲乙双方进行一次游戏的情况，尽管这其中涉及概率，但不代表这个游戏要进行很多次来统计频率，而是参与人每一轮都根据概率进行选择。

题主想说的，其实是游戏进行多轮的状况，这种状况被称为重复博弈（repeated game）。

重复博弈下，策略就更像是一种战略，而不是战术，它代表了玩家在每一轮如何选择的一整套规则，这个规则可以是“根据上一回合的结果决定下一回合的选择”，也可以是“在游戏开始后策略不改变”。
我用最经典的囚徒困境博弈来做个说明。
囚徒困境进行一轮的时候，囚犯的策略是合作（C）或者背叛（D）；
囚徒困境重复进行时，囚徒的策略可以是永远合作ALLC，永远背叛ALLD，以牙还牙Tit For Tat，冷酷策略Grim Trigger等等，这些策略是单轮博弈的策略（合作或者背叛）的有机组合。这里“永远合作”或者“永远背叛”就是“在游戏开始后策略不改变”的策略的例子，而“以牙还牙”和“冷酷策略”都是“根据上一回合的结果决定下一回合的选择”的例子。

2. 是否有一种『根据上一回合的结果决定下一回合的选择』的策略，使得甲或者乙收益更多？如果有，是什么？如果没有，如何证明？
答：这时候我们就要进一步划分重复博弈。
1）如果重复博弈进行有限轮，在最后一轮，双方一定会选择纳什均衡。
如果有多个纳什均衡，而且各个纳什均衡的收益不同，那么可以通过威胁对方说，我会在最后一轮强制选择较差的纳什均衡，来逼迫对方在最后一轮之前选择非纳什均衡。
然而，这道题中只有一个纳什均衡（就是混合策略纳什均衡），因此最后一轮双方无论如何都只有这一种选择，倒推到倒数第二轮，则双方都无法威胁对方，那么倒数第二轮也只能都选择纳什均衡，依此类推，我们就得到了一个定理：
定理：若单轮博弈只有唯一纳什均衡，则有限重复博弈中每一轮博弈双方均选择该纳什均衡。
这个定理用在囚徒困境上，就可以知道有限次囚徒困境中，双方都永远会选择背叛。

2）如果重复博弈进行无限轮，这时候就没有“最后一轮”了，我们就不能从最后一轮来进行倒推了。这时候，我们就只好利用另一个定理（证明略），即无名氏定理（Folk Theorem）。
在介绍定理之前，先来了解一下折现率（discount rate）的概念。简单地说，就是没到手的钱没有已经到手的钱值钱，在今天看未来的收益，要打个折扣。这个也很好理解，比如我今天给你100块和明年的今天给你100块，肯定是今天拿到手合算，因为我可以拿去投资啊，最起码可以多拿一年的利息，所以明年的100块钱，在今天就要少一些，我们用折现率δ<1来表示，今天这明年的100块钱就只值100δ。
如果我们进行无限轮博弈，最后我们会得到一个总折现收益，这个总折现收益等价于每年固定拿一定量的钱的总折现收益，我们称为平均折现收益。比如说，如果我今年拿2块，从明年开始每年拿1块，折现率是1/2，那么我的总折现收益是
2+1/2+(1/2)^2+...=3
平均折现收益假设是x，那么有
x+x*(1/2)+x*(1/2)^2+...=3
解得x=3/2
也就是说，“我今年拿2块，从明年开始每年拿1块，折现率是1/2”，就相当于我每年拿3/2块，折现率是1/2。

好了，我们回到无名氏定理。无名氏定理说的是，对于双方高于其最小最大值(minimax)的收益，在折现率充分高的情况下，存在策略，使得双方的平均折现收益达到该值。
在零和博弈中（比如本题），最小最大值的收益就是纳什均衡下的收益。而零和游戏意味着提升一方的收益必然降低另一方收益，所以无法用无名氏定理证明存在这样的策略。（= =！一个大写的懵逼）
（然而证明不存在的定理我们没学过……）
3. 此题让我联想到Evolutionarily Stable Strategy（虽然只有两个人），现实中（如生物、经济等领域）是否有符合此题模型的现象？我还是想说这个问题本身只是一轮，不是多轮……所以本身并没有Evolutionary的成分……不过如果放在演化博弈的视角下，这确实是一个ESS。
符合此题模型的现象……暂时想不出来…… 1/2 1 2 下一页尾页

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