日志分析工具 第32节:第二章 分析工具(13)



系列专题:《价格理论及其应用:决策、市场与信息》

  有时人们把边际收入说成是“生产出来的最后一单位产品”或“将要生产出来的下一单位产品”所带来的收入增加量。第一种说法是以“低区间”来定义(因此,以上文的数字为例,Q=2时MR为7)。第二种说法是以“高区间”来定义(因此Q=2时MR为5)。我们推荐的方法是求这两个数的平均值,得到的结果是Q=2时MR为6。当R与Q的增加量相对于R与Q来说是很小很小的时候,第三个近似值虽然比较精确,但可能与其余二者差别甚微,但有时也会很不一致。既然只不过是麻烦一点,最好还是用比较精确的近似值。事实上,对于像表2 2所描述的直线需求曲线来说,这里推荐使用的方法总是与微积分的计算结果相一致,因此是精确的。

  数学注脚:表2 2所描述的需求曲线的方程是P=10-Q。这样总收入R=PQ=10Q-Q2。求导得到边际收入MR=dR/dQ=10-2Q。因此Q=2时MR=6。这个精确的答案与我们推荐的近似法得到的答案一样。但需求曲线不是直线时,推荐的方法就不是那么准确了,但它几乎总是比另外两种方法更精确。

  练习2 8

  假设非线性需求曲线为P=100-Q2,比较推荐的方法与不太精确的方法在计算Q=4时,MR的近似值。

  答案:因为收入=价格×数量,所以总收入方程R=(100-Q2)×Q=100Q-Q3。Q=3和Q=4时总收入R分别是273和336。使用推荐的方法来计算,产量为Q=3 5时收入的增加量是336-273=63,则Q=3 5时边际收入的估计值为ΔR/ΔQ=63/1=63。类似可算出Q=4和Q=5之间的MR是(375-336)/1=39,是Q=4 5时MR的估计值。则Q=4时MR的估计值是求二者的平均数:(39+63)/2=51。(用微积分计算Q=4时的精确数值是MR=52,与推荐的方法计算出来的近似值MR=51很接近。)相比之下,另外两种方法没那么精确,一种是以生产出来的“最后一个”(即第四个)单位产品带来的收入增加MR=63来估计Q=4时的边际收入;一种是以将要生产的“下一个”(即第五个)单位产品带来的收入增加MR=31来估计Q=4时的MR。前一个估计很差,后一个估计就更差。推荐的方法得到的估计值比其余二者都好得多。

 日志分析工具 第32节:第二章 分析工具(13)
  如果产出的单位是离散而非连续的,计算这些离散值的边际收入根本毫无意义,又该怎么办在这种情况下,不可避免地会出现两个不同的MR估计值:一个是“高区间”的估计值,另一个是“低区间”的估计值。要使用哪一个就取决于进行的决策是向上还是向下选择。

  练习 2 9

  假设产量只可能是整数,生产成本不变,是每单位6(这样6就是所有产量水平的边际成本与平均成本)。用表2 2的数据证明Q=2是最优产量。

  答案:从产量Q=2开始,表2 2显示“高区间”(即从Q=2增加到Q=3)的边际收入是MR=5。由于多生产一单位产品的成本是6,显然增产是无利可图的。“低区间”的边际收入是MR=7,则减产到Q=1也是无利可图的:收入减少7,但成本只减少了6。因此Q=2是最优产量。

  前面的练习说明了以下的一般规则:

  规则:如果只能进行离散的选择,“高区间”的边际收入小于边际成本,“低区间”的边际收入大于边际成本时,产量达到最优。

  例子2 8教授与发表文章

  教授们的研究成果通常发表在学术文章里。发表文章多的教授就能获得同行的认可,往往能得到较高的薪金。

  霍华德 P 杜克曼(Howard P Tuckman)和杰克·黎黑(Jack Leahey)估计过20世纪70年代里文章发表对教授薪金的影响。下表比较了不同的文章发表量相应的平均与边际薪金水平,并跟没有文章发表的教授所获得的基本薪金水平相比较。(这里没有区分一篇文章有多个作者的情况,因此每个合著者都从发表的文章中获得了全部好处。)

  把文章发表量看成数量变量的话,下表中薪金水平的平均量与边际量之间的关系跟图2 10的下方图相类似。这里的数据显示,平均来说,教授们第一篇文章的边际薪金收入是543美元,而第35篇文章的边际薪金收入只有49美元。(这种边际量减少的模式反映了边际收益递减律,第六章将会讨论这一点。)  

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