浅论数学、概念和数学学习

数学的重要性

我相信我们都没有疑问：随着科学技术的发展（尤其是计算机技术的发展），数学的应用将会愈来愈广泛。

我们也知道：早在古希腊的毕达哥拉斯学派就把数看作万物之本源；享有“近代科学之父”尊称的伽利略认为“宇宙像一本用数学语言写成的大书”。第一位诺贝尔物理奖获得者伦琴当有人问他科学家需要什么样的修养时，他的回答是“第一是数学，第二是数学，第三是数学”。确实，物理等自然科学中的许许多多定律等，若不能从数学上给予证明，也不能经科学的实验得到确证，人们能肯定这些定律的准确率？因此，在1687年出版的牛顿的《自然哲学的数学原理》中，牛顿系统地阐明了现在称为牛顿运动三定律的运动学原理；并用万有引力定律在数学上严格地证明了开普勒提出的行星运动三定律。这样上到天体的运行，下到潮水的涨落，都服从于一条简单的定律。人类智力达到了前所未有的自信。

如果说二次大战以前，数学主要用于天文、物理。那么，现在数学已经深入到化学、生物、医学以及经济、管理等社会科学领域中，现举几例为说明。

1969年至1981年间颁发的最初的13个诺贝尔经济学奖中，有7个获奖工作是相当数学化的，其中Kantorovich由于对物资最优调拨理论的贡献而获1975年奖；Klein的“设计预测经济变动的计算机模式”获1980年奖；Tobin的“投资决策的数学模型”获1981年奖等等。进入八、九十年代以来，就更不用说了，如众所周知的影片《美丽心灵》男主角的生活原型、美国普林斯顿大学数学教授约翰·纳什就是1994年诺贝尔经济学奖获得者，又如刚颁发的2005年诺贝尔经济奖排名第一的获得者是麻省理工学院数学博士。在经济和管理中，预测是管理（资金的投放、商品的产销、人员的组织等）的依据，而数学则是预测的重要武器，我国数学工作者在气象、台风、地震、病虫害、鱼群、海浪等方面进行过大量的统计预测，获得了良好的效果。现在不懂数学的经济学家，决不会成为杰出的经济学家。

因此，21世纪信息社会的两个重要特征，简言之就是“计算机无所不在”，“数学无处不在”。根据这一分析，21世纪培养的科技人才究竟应该具备什么样的数学素质呢？1992年美国工业与应用数学学会（SIAM）的一篇论文指出：“一切科学与工程技术人员的教育必须包括愈来愈多的数学和计算科学的内容、数学建模和相伴的计算正在成为工程设计过程中的关键工具。科学家正日益依赖于计算方法以及在解释结果的精度和可靠性方面有充分的经验。美国科学、工程和公共事务政策委员会在一份报告中指出：“今天，在技术科学中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。”

随着计算机的发展，数学渗透到各行业，从卫星到核电站，从天气预报到家用器，高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特征，无不是通过数学模型和数学方法并借助于计算机的计算控制来实现的，所以，说到底，高技术是数学技术。

如此，1992年，联合国科教文组织在里约热内卢明确指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”。

为什么里约热内卢宣言给予数学如此厚爱？没有任何一种科学能像数学这样泽被后人。爱因斯坦在谈到数学时说：“数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的”。

又如英国皇家科学院院士斯图尔特说：“我们的世界是建立在数学基础之上的。数学不可避免地融入我们的整个文化之中。我们并非感受到我们的生活如何强烈地受到数学的影响。原因在于数学总是尽可能的藏在幕后”。

早在1959年5月，著名数学家华罗庚就在《人民日报》上发表了“大哉数学之为用”的文章，精彩地论述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁…无一不可用数学来表达。”从这里，我们知道：数学，是科学的精灵，是科学王宫里最神秘的宫殿。数学的内涵博大精深，数学的外延无所不在。数学是人们认识世界的工具，掌握世界的钥匙。在许多科学革命中，都是以数学突破为其先导，都是以数学理论为其支撑，都是以数学计算为其保障。

王梓坤院士在起草的《今日数学及其应用》课题中，特别强调了数学的贡献，他说：“数学的贡献在于对整个科学技术(尤其是高新技术)水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能全面比拟的。”

在《西方文化中的数学》的前言中，M·克莱因首先阐明了他的写作目的：“本书的目的是为了阐明这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美”。

数学既然如此重要，而且大有越来越重要之势。那么，我们自然会问：数学是什么？

1 数学是什么

香港中文大学博导、香港数学教育学会创会会长黄毅英教授说：“学生对‘数学是什么’的认知直接影响他们学习数学和解数学题的方式”。前国际数学教育委员会副主席、新加坡南洋理工大学李秉彝教授预言“21世纪最大的变化是数学技术引入到数学教育”。必竟不是数学研究，这两观点有一定典型就行。另，华罗庚先生是现代数学研究与学习的成功者,其数学学习体验成为具有典型意义的学习心理系统的个体原型。

因此，我们先从‘数学是什么’开篇，其过程中适时体现‘数学技术’及成功个案在数学学习中的现代意义。

数学是什么呢？从20世纪以来不少专家学者对此做过一些探讨，但迄今为止，众说纷纭，莫衷一是。

英国的罗素说：“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”而法国的E·波莱尔则提出另一个与其针锋相对的说法：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”两者各执一词，不能说没有道理，但罗素的定义似乎陷入了虚无主义的态度。

关于“数学”是什么，大概有以下说法：

(1)万物皆数说“万物皆数”的始作俑者是毕达哥拉斯，他说：“数统治着宇宙”。这一说法在长时间内得到不少人的赞同。苏格拉底甚至强调，学习数学是“为了灵魂本身去学”。柏拉图称“上帝乃几何学家”，他在自己学园门上写着：“不懂得几何学的不得入内。”

(2)哲学说自从古希腊人搞哲学开始，数学就成为哲学问题的重要来源。古希腊的大哲学家几乎都是大数学家，这就难怪为什么他们比较容易从哲学上来定义数学。亚里士多德说：“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数学，但他们却把数学和哲学看作是相同的。”

牛顿在其《自然哲学之数学原理》第一版序言中曾说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来。”罗素则更直接，他说：“为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，且要成为一个好数学家。”他把数学的素养作为创造健康哲学的基本条件。

(3)符号说数学被人们普遍公认为是一种高级语言，是符号的世界。伽里略的一段话流传颇广，即“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。”

(4)科学说此说认为，数学是一门科学。“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。”（G·F·高斯)“数学是科学的大门和钥匙。”(培根)“数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己”(赫尔巴黎)。

在《中国大百科全书·数学卷》中对数学的定义是：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”（吴文俊）这一权威的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的概括。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。

M·克莱因说：“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。”“实际上，在现代经验科学中，能否接受数学方法已越来越成为该学科成功与否的主要判别标准。”（爱因斯坦文集。）

我们比较熟悉的对“数学是什么？”的回答有：“数学是模式的科学”。“数学是科学，数学更是一门创造性的艺术”， “数学是科学，数学也是一门技术。”，“数学是一种语言。”，“数学是一种文化。”，“数学是科学的语言，是思维的体操，是生活的需要，是最后取胜的法宝”等等。

数学，是一个多元化综合的产物。如果要用几句话给“数学是什么”作一个恰当的回答，决非是一件易事，关键是看问题的角度。对“数学”的认识，我们应当从一元论走向多元论。美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“…对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？” 

2 数学概念

2-1 概念的定义

数学对我们如此重要，而组成数学的要素不少，那么数学中最重要的是什么呢？

高斯曾经指出，在数学中重要的“不是符号，而是概念”。

那么概念是什么呢？怎样才能算掌握概念呢？

概念是哲学、逻辑学、心理学等许多学科领域的研究对象。由于研究角度的不同，因而各学科对概念的理解也有差异。例如，哲学中把概念定义为人脑对事物本质特征的反映，而心理学则把概念与人类的分类行为紧密地联系在一起。例如，行为主义者认为概念是有机体对相似刺激物或同类刺激物作出共同反映的能力，这种解释对初级的具体概念比较适宜，但它没有指出概念应该抽象出事物的本质属性；认知心理学则把概念定义为“符号所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境或性质”。现代认知心理学认为，概念具有发展性，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象性水平发展，从日常概念（有时这种概念是错误的）向科学概念发展。

概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“正方形”为例，词“正方形”是概念的名称；“有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是“正方形”的例子，称为正例，否则叫反例；“正方形”的属性有：是平面图形、对边平行、四边相等、四个角都是直角、对角线相并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角，等等。

伟大的数学家希尔伯特（Hiebert）等指出“一个数学概念或方法或事实是理解了，如果它成了内部网络的一个部分，更确切地说，数学被理解了，如果它的智力表示成了内部网络的部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。说一个数学的概念、方法或事实是彻底地理解了，是指它和现有的网络由更强或更弱的联系联结着”（格劳斯，《数学教与学研究手册》[M]，陈昌平译，上海；上海教育出版社，1999，134），那么怎样才达到希尔伯特（Hiebert）等所指的程度呢？

2-2.概念的分类

分类，就是依照某种标准，按“不重不漏”的原则，将事物划分为若干个类别。当然，这些类别之间具有内在联系性。这里的“标准”通常是事物的某一本质特征。

人类之所以能应付周围环境的随时变化，就是因为有分类能力。凭借这种能力，人们就可以将接收到环境信息做出分类，并利用类别做出推理，从而超越信息，达到认知（学习）的目的。

分类活动以掌握事物的关键属性为前提。分类活动必须符合一定的规则，这些规则是：（1）要以本质属性作为标准的。如“凸平面四边形”的本质属性有：平面图形、封闭的、四条边、四个角、凸图形等。（2）指明本质属性的组织方式。如四条边共面、组成首尾相连的封闭图形、任何一条边向两方延长其他各边都在延长所得直线的同侧，等。（3）要确立公认的限制条件。如凸平面四边形可以有大小、形状等差别，但它只能有四条边，这是公认的限制条件之一。（4）要权衡各种不同的属性（即哪些是本质属性，哪些是非本质属性）。例如，四条边的长短、四个角的大小都不是本质属性。

在概念学习过程中，分类活动占有非常重要的地位。分类是概念获得的基础，是对概念的内涵进行认识的过程；分类活动有助于学生更深刻地理解概念之间的关系；分类活动有助于学生从整体上把握概念；分类是概括的基础，因此分类活动有助于提高学生的概括能力；通过分类，可将事物依其属性而归类，依其相互之间的联系而成系统，而类别清晰、逻辑关系明确的概念系统有利于记忆和检索。能否依据本质属性对事物进行恰当的分类是衡量学生是否已经习得概念的标准。所以，教师必须十分重视概念分类这一环节。

2-3.数学概念的特点

数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式，这种关系和形式是脱离了事物的具体物质属性的，因此，数学概念有与此相对应的特点。

（1）数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除一类对象物理属性以后的抽象，反映了一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。

（2）数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学有比别的学科更加简明、清晰、准确的表述形式。这说明在数学的发展中引进恰当的符号来表示概念是非常重要的，这是数学概念的一个重要特点。

（3）数学概念是具体性与抽象性的辨证统一。数学是高度抽象的。但另一方面，数学概念又是非常具体的，任何一个数学概念的背后都有许多具体内容支撑着。学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能够举出概念的具体事例，才算真正掌握了数学概念。

（4）数学概念具有很强的系统性。前已指出，数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。

2-4.概念获得的两种不同形式

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同本质属性的过程。例如，学习“棱锥”这个概念，就是掌握：凸多面体、底面是多边形、侧面是有一个公共顶点的三角形等这几个关键属性。同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成；也可以用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化。概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式。

通常，由于数学学习是掌握前人已经发现的数学知识，把前人的数学活动经验转变成自己的经验，使其成为自己解决问题的工具的过程，因此概念同化是学生获得数学概念的最基本的方式。但是，由于学生的认知结构处于发展过程之中，他们的数学认知结构比较简单、数学知识比较贫乏而具体，在学习新的数学知识时，作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备，这时他们就只能采取概念形成的方式来学习。另一方面，随着年龄的增长，知识经验的不断丰富，学生所掌握的概念系统也从具体到抽象、从简单到复杂、从未分化到分化、从分散到统一地连续不断地获得发展，相应的，学生获得概念的方式也在发生变化。年龄越小，认知结构越简单而具体，概念形成的方式就用得越多。

2-4-1.概念形成

概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。概念形成过程可概括如下：

（1）辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。

（2）分化出各种刺激模式的属性。为了理解该类刺激模式的本质属性，就需要对各种刺激模式的各个属性予以分化。

（3）概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设。

（4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。检验过程中，采用变式是一种有效手段。如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为关键属性。

（5）概括，形成概念。验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键属性，使新概念与认知结构中的已有有关观念分化，用语言概括成为概念的定义。

（6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。这既是在更大范围内检验和修正概念定义的过程，又是一个概念应用的过程，从中我们可以看出概念的本质特征是否已经被真正理解。因此在这个过程中，我们可以用一些概念的等值语言来让学生进行判断和推理。上例中，“对角线相等并且平分”就是矩形的等值语言。事实上，这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起实质性联系的过程，因此这是概念形成的一个非常重要的步骤。

（7）用习惯的形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤，学生比较全面地了解了概念的内涵，而且还掌握了许多概念的具体例证，对于概念的各种变式也有了较好的理解，总之，学生对概念的内涵和外延都有了比较准确、全面的理解。这时，就应该及时地引进数学符号。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。

用概念形成方式教学概念时，教师必须注意按学生的心理发展规律办事。首先，给学生提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当；其次，向学生呈现刺激模式时，应该采用同时呈现的方式，以利于学生进行分析、比较，这样可以减轻学生的记忆负担；第三，要注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣的例子作为刺激模式，这样的刺激模式有利于学生进行深入的观察，展开积极的思维活动，对各个刺激模式的属性进行充分的分化，对刺激模式之间的各种属性进行比较，有利于培养学生从平常的现象中发现不平常的性质、从貌似无关的事物中发现相似点或因果关系的能力；第四，要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律，在分化和比较的基础上，引导学生及时对各个刺激模式中的共同属性进行抽象、并从共同特征中抽象出本质属性。及时对概念的本质特征进行抽象概括，有利于学生更加准确、迅速地掌握概念，因为这时学生还没有把智力动作与刺激模式中的无关特征联系起来的习惯，否则就有可能使无关特征得到强化，使学生将刺激模式中的无关特征当成本质特征，从而产生对概念的错误理解。第五，在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应该采取适当的措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没。例如，学习三角函数中的“第一象限的角”这个概念以后，如果不及时与已有的“锐角”概念分化，则学生很容易把它与锐角等同起来；第六，必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关观念建立起实质的和非人为的联系。

在用概念形成的方式进行概念教学时，教师的语言中介作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括。否则，学生就很可能会用“尝试错误”的方式去辨别、分化概念的具体事例，这样会减缓辨别的速度，使具体事例的各种属性的分化不充分，由此就会影响到概括的质量。另外，教师还应该设法用一定的教学情境来引导学生回忆和提取与概念学习相关的知识，激发新概念与已有认知结构的矛盾，引起学生的积极思维，使学生积极主动地投入学习。

应当强调，用概念形成方式进行概念教学时，教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤，如果没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，很容易造成对概念的片面、孤立甚至是错误的理解。教师应当引导在认清概念的内涵以后再进行概念应用，引导学生在揭示概念背后的丰富内容的基础上形成新概念，在建立新概念与已有认知结构中有关观念的实质性和非人为的联系上下功夫，而不仅仅是在字面上逐字逐句地再现概念。否则，将给学生的知识保持带来困难，而且也会使学生的思维训练受到危害，因为在没有清晰地把握概念的本质特征时就去应用概念只能是一种盲目的应用，他们的思维也会是杂乱无章的。

2-4-2. 概念同化。

随着年龄的增加，学生的认知水平在提高，他们的认知结构中的知识越来越丰富，所掌握的概念也越来越成系统，相应的，概念同化也逐渐成为他们获得概念的主要形式。概念同化属于接受学习。由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，新概念必须具有逻辑意义，学生的认知结构中必须具备同化新概念的适当知识，另外，学生还必须积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。

概念同化方式学习概念有以下几个阶段：

（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号。

（2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征。

（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。

（4）用肯定例证与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。

（5）把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，组成一个整体。

概念同化方式获得概念，实际上是用演绎方式获得概念的一种形式。因为它是从抽象定义出发来学习概念的，所以应注意及时应用实例，使出现概念获得具体例证的支持。学习中，必须经过概念分类这一步，因为它可以使学生从外延角度进一步地对概念进行理解，使对概念的认识进一步深化，搞清概念的各个方面，认清概念的各种特例。还要注意，在引入概念的同时，应该要求学生掌握一定的智力动作，例如，如何判断某一事物是否隶属于该概念，如何推出隶属于该概念的事物的相应特征等等。这样可以防止出现知道概念的定义，但不知道在如何用它来解题的情况。还要注意为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况。

在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用，如果仅用概念形成方式学习，显然不符合学校学习的经济性原则；而仅仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生比较难以把握概念背后的丰富内容，难以理解概念的关键属性，因此应该把两者结合起来使用。教师可以在揭示概念的定义后，引导学生在定义的指导下去观察实际事例，定义的导向可以使学生比较容易地揭示实例中包含的与概念有关的关键属性。同时，通过正例与反例的应用，通过学生自己对实例的比较、分析、概括、分化和类化等，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体，然后再引导学生将新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，形成概念系统。

概念形成与概念同化都是在现有认知结构的基础上进行新概念学习的，因此，在概念教学中，教师把握学生现有认知结构的状况是非常重要的。事实上，学生感知和理解事物的一般方式是由学生的已有认知结构来决定的，新的概念不是被同化到现有认知结构中，就是改造这个现有认知结构以接纳这个新概念。因此，新概念的学习一定要适合学生现有认知结构的水平，概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡。根据皮亚杰的认知发展理论，学生在遇到新概念时，总是先用已有认知结构去同化，如果获得成功，就得到暂时的平衡；如果同化不成功，则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构，以顺应新概念，从而达到新的平衡。教师应该依据学生概念学习的这种机制，利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置出相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动。

3、数学概念的理解和获得

上面已经说明了数学概念的两种基本的概念获得方式-概念形成与概念同化。

那么，通过什么心理和思维活动达到这两种基本的概念获得方式，才是科学的和有校的呢？

沃特海梅尔曾做过这样的研究,让两组学生对平行四边行面积公式分别展开理解法学习和死记法学习.前者学生通过三角形割补关系理解了平行四边形可以重新组合成长方形,所以他们很容易内化平行四边形面积公式的内在意义以及平行四边形本身的结构关系.后者学生则要求死记平行四边形面积公式.在随后的迁移测试中,在一些解决平行四边形面积的典型问题上,两者都表现出色.但对一些非常规问题(如竖置的平行四边形,带有不规则割补的平行四边形),前者表现出色,而后者却无能为力.所以,迁移与应用受理解性学习程度的影响,而非仅靠记忆事实和墨守成规。

所以，从个体发展的角度看,数学理解的意义更是清晰可见.首先,知识的理解有助于完善个体大脑内部的知识结构网络,从而推动记忆,进而又更易于同化与理解新知识,新信息,这是一个良性学习过程.“理解不仅仅是把新知识与先前的旧有知识产生联系,而是创建了一个丰富的,整合的知识结构,……,当知识被高度结构化的时候,新的知识就能被连接,并被融合进已有的知识网络中,而不是只产生元素之间的单个连接,……高度结构化的知识不易被遗忘,它有着多重途径被找回,而孤立的知识片段更难于被记忆”。其次,知识只有被深刻理解了,才具有迁移与应用的活性,这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的。

因此，数学概念的学习是数学学习的关键，上面已揭示概念获得的途径，对于中小学生，简而言之就是理解，即“理解”无疑是第一位。理解是数学学习的关键，学生可以通过对数学知识、技能、概念与原理的理解与掌握来发展他们的数学能力。在实际情况中，有的学生学习数学知识牢固、灵活，能举一反三、融会贯通，具有创造性。而有的学生学习数学知识只是停留在表面上，形式地记住了某个要领的词句，对公式、法则的套用，不知道概念的本质属性，不知道公式的来龙去脉，知其然，不知其所以然，无法变通。如有的学生学习了函数概念，在遇到y=∫f(x)dx (x∈R)与s=∫f(t)dt (t∈R)时就认为是2个不同的函数，或认为

y=x(x∈[-1,0]与y=x(x∈[0,1])

是同一个函数。这说明在数学学习的过程中，理解学习无疑是很重要的。

3-1  数学中理解学习的含义

什么是理解学习呢？不同学派的心理学家持有不同的观点。巴甫洛夫认为：人们是通过联想获得有关事物关系的知识，理解就是利用旧联想形成新联想，即联想的联想。格式塔学派认为：理解就是“顿悟”，是头脑中知觉“完形”的出现，理解就是对事物间的关系突然贯通与领悟。以皮亚杰为代表的日内瓦学派认为：个体对新事物的理解，就是新刺激被个体已有的知识结构同化或顺应的过程。认知心理学奥苏伯尔则认为理解就是将新信息纳入原有认知结构，新旧知识发生意义同化的过程。以上种种观点都各自在一定程度上解释了理解的含义。通常所说的理解（Understanding）就是个体运用已有知识、经验，认识事物的联系、关系直至其本质规律的思维活动。不管是联想，还是顿悟，最终的目的都必须达到对事物的本质规律的认识，从而达到对新知识的理解。数学是思维的体操，数学学习要求具有较强的抽象和概括能力，因而数学学习中的理解较之一般性的理解有更高的要求。数学学习中的理解应解释为对已学东西的意义不断地加以更新、改造、整理和重组的过程，为形成更合理的结构，从整体内部进行正、逆向交叉，跳跃式的联系，从总体中认识局部的、孤立的概念之间的内部联系，通过表象的更新，新联系的建立，旧联系的高速或抛弃来影响总体或局部结构的进化，甚至得以革新，形成联系更丰富、更紧密、更融会贯通的知识网络。数学中的理解学习应是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认识平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理解。

3-2  衡量学生“理解”与否的主要标志

怎样才能明确学生是否对数学知识的“理解”，或其理解的程度如何？教师要获得学生对数学知识理解的信息，需要利用学生的外部表现来鉴定。教师可采用谈话法、观察法、案例研究法等方法仔细了解、分析他们的思维过程，多方面获取学生对数学知识理解程度的信息，然后做出综合判断。“用字母表示数”是初一代数中的知识内容，但要达到深入理解还需要代数课程的后继学习，下面我们重点分析怎样衡量学生对“用字母表示数”这一数学概念的理解。

管鹏认为“良好的数学认识结构应具备3个条件，第一、良好的数学认识结构应该是“双向产生式”的认识结构。所谓双向产生式指具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下应该采取什么动作（使用什么知识或得出什么结论），必需在怎样的条件下满足之后才可以进行。第二、良好的数学认识结构应该具有层次化、条理化的特点。第三、良好的认识结构应该与有效的思维策略相关联”（管鹏，形式良好数学认识结构的认识心理学原理[J]，教育理论与实践，1998，（2），40-45）

一般地，对数学概念的理解有下面三个层次的体现：

第一、能用语言表述是衡量学生对数学知识理解的标志。语言表述是指学生是否能用自己的语言来正确地表述数学概念、公式、法则等数学知识，是否依据自己已有的数学知识和经验去对教师所讲的内容做出解释，能够根据数学内容来提出问题和回答问题。

第二、能否进行实际操作是衡量学生是否达到对数学知识确切理解的主要标志。实际操作是指学生能根据所学的数学知识，进行判断、运算、推理、证明等。在这一过程中，学生通过建立新旧知识的动态联系，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象直接纳入认知结构。

第三、能否进行具体运用是衡量学生是否达到对数学知识深刻理解的重要标志。具体运用是指学生能综合运用所学的数学知识解决相关的数学问题。实际上，具体运用的过程也是学生对数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而对数学知识加以运用。

其中，后一个体现的理解层次比前一个体现其理解深刻性。总之，学生如能把语言表述、实际操作和具体运用3者结合起来，是全面理解数学知识的标志。这种结合越好，表明理解越深。通过这3者的关系，我们就能判断学生是否理解了数学知识。

  数学理解的认知建构观

数学理解的认知建构观的核心思想主要体现的如下几个方面：

3-3  促进数学理解学习的主要途径及要注意的问题

上面讲解理解对数学概念形成和同化认识的重要，也揭示了理解有三个不同的层次，及数学理解的本质、特征、形成机制和条件。

关于数学学习要达到的理解和认识程度，曹才翰等认为“数学认识结构就是学生头脑中的数学知识按照他自已理解的深广度，结合自已的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认识特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构”（曹才翰，蔡金法，《数学教育学概论》[M]，南京；江苏教育出版社，1998，120）

李士琦也说：“学习一个概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认识结构，并使之成为个人内部网络知识的一部分，那么才可以说明理解了”（李士琦，数学教育心理[M]，上海，华东师范大学出版社，2001，64）

教育教学过程离不开理解，但在日常教学实践中，多将理解作为掌握知识的手段，理解体现的是工具价值。当今在数学新课标下所注重的理解，不是仅将理解作为手段，理解本身也是目的。譬如，2003年颁布的《普通高中数学课程标准》在教学建议中指出：“教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能”；在评价建议中指出：“评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧”；在教材编写建议中谈到：“教材编写要体现相关内容的联系，帮助学生全面理解和认识数学。” 由此可见，“理解”在我国新课程改革中倍受重视。因此，数学教学中如何促进学生理解呢？。

3-3-1、重视学生的真正理解

学生在学习新知时，如果新知传递的信息能被学习者“通得过”，学习者认为没有矛盾，那么学习者也就认为理解了新知，但学生自认为“理解”了，有时未必是真正理解。因为学生通过机械记忆的方法，也能回答一些问题，通过模仿，也能做一些习题，因此，要检验学生是否达到真正理解，不能只看学生的答案是否正确，分数多少，而应善于利用观察、谈话、倾听等方法将学生内部的思维活动与外部的语言表达活动结合在一起，或通过创设问题情境，仔细地了解、分析他们的思维过程，鉴别他们的理解活动是否是真理解。

3-3-3、题海战术无助于学生形成对数学的深刻理解

一方面，“题海战术”使学生疲于应付，没有机会来反省自己的数学学习，无暇根据自己的状况反思如何改进组织知识的方式并深入寻找知识间的内部联系，而且，大量重复性的习题演练还会造成学生产生厌学心理的后果。因此，“题海战术”不仅不利于学生的数学认知理解水平的提高，反而会阻碍学生形成深入理解数学知识的心理趋向。

另一方面，学生通过“题海战术”，也能解决一些问题，但学生可能是通过复制解法而将问题解决的，他们对数学知识理解并不深刻。因此，对于数学学习而言，“题海战术”当然有助于学生形成熟练的解题技能，熟确能生巧，但“巧”是针对数学基本技能而言的，“巧”未必能深刻理解，对于这一点，数学教师应有清醒认识。

3-3-4、促进学生的认知理解离不开行之有效的教学方法

建构主义认为，“数学学习不是纯粹的个人行为，相反，在发挥学生主体作用的同时发挥教师的指导、促进作用”[10]，因此，教师要用什么样的教学手段，才能使学生调动起已有的认知结构，通过重组和调整，使新的数学知识纳入学生原有的认知结构中去，以便构成个人内部的知识网络的一部分，从而达到对数学的理解学习呢？

希尔伯特等认为数学教学应该提供下列机会:发展一个适当机会；延伸与应用他们的数学知识；反思他们自己的数学经验；表达和交流他们所知道的；使数学成为他们自己的[5]。据此,孔企平博士等[11]认为,促进数学理解型学习的课堂要素包括5个方面,即课堂任务;辅助工具；课堂文化；教师作用；公平原则。李淑文教授等[12]则认为,应"螺旋式"地安排知识；应丰富学生的数学学习材料；应给学生反省的机会和时间。

我们认为，在教学中，促进学生数学理解学习，可从以下几方面入手：数学教师应重视学生的认知理解，但“工欲善其事，必先利其器”，为了促进学生的数学认知理解，就要采用有效的教学方法：

其一，恰当运用直观、感性的教学。要想让学生获得深刻的理解，深入浅出的教学活动必不可少，对于中学数学教学而言，恰当运用直观教学是促进学生数学认知理解的有效手段。在数学知识的学习中，教师向学生提供足以说明有关知识的丰富的感性材料，让学生借此来进行各种复杂的认识活动，在头脑中建立起要认识的事物特征与联系的感觉，知觉，表象或观念，从而获得对事物的一些具体的或感性的知识，有助于学生对数学知识的理解。直观教学是使学生通过观察获得初步理解数学知识的一种重要手段。

其二，帮助学生加强新旧知识的联系。理解式学习牵涉到2个方面，一是处理新旧知识的联系，二是组织起相应的关系结构，以利于新的数学知识的存贮和回忆。新旧知识的相互作用是理解数学知识的关键。新旧知识往往是相互依赖、相互影响的，新旧知识的转换有一个联接点，他们的相互作用往往围绕着联接点进行，并将新旧知识联系在一起。例如，在讲平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理时，可抓住这里的联接点是反映定理的图形中的原始线段，它们既是圆的弦、割线段、切线段，又是补形后的相似三角形对应边。这样，新旧知识有机地联系在一起，从而完成了由新化旧、由旧推新的转换，新知识被同化了。因此，在教学中既需要从学生已经获得的知识出发，重视旧知与新知如何发生联系，有时也需要从新知出发，重视新知获得后的反思，引导学生反思如何通过新知的学习，扬弃认知结构中片面乃至错误的经验与认识，反思新知如何与旧知发生关联，进一步加深对旧知的理解。

其三，进行知识之间的比较。教学中多进行知识之间的比较，引导学生不断梳理所学知识，体味数学知识之间的关系，使学生认识到单个知识的理解无疑是需要的，但形成比较的学习习惯，在相互联系中学习和理解数学知识之间的关系更具重要性。

其四，引导学生进行反思。引导学生学会反思，从解决问题运用了哪些数学思想、数学方法，遇到困难时思维为何受阻，自己是如何突破阻碍的等侧面引导学生反思潜藏在学习者数学思维之中的内部活动，以达到深层次的数学理解。

其五，促进数学知识的系统化。一方面，指导学生从纵向整理知识结构，培养学生自觉地整理与总结所学知识的习惯，让他们按自己的体会将数学知识纵向地串联起来。另一方面，指导学生从横向整理知识结构，整理横向知识结构就是把分散在各个单元的教学内容，密切相关或解决同一类问题的各种知识与方法加以系统地整理，将不同章节的数学知识横向贯通起来。使学生在纵横交错中学习数学，理解数学知识。

其六、加强知识的灵活运用

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