爱华网一个很有趣的事情，著名的说谎者悖论从柏拉图时代直到本世纪初一直困扰着所有的逻辑学家．它是这样一个句子：我说的话是假的．这立刻产生一个矛盾，因为假如说此话的人说的是真话，那么他说的就是假的，而如果他没有说真话，那么他说的就是真的．其实说谎者悖论根本不是一个陈述句，而是一段语义上无意义的词语：它是一个指称自身的伪陈述句．类似这类的语义悖论单凭句法是无法解决的． 附录一：鳄鱼和小孩 M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。 母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。M：鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。
M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。 如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。 无论鱷鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鱷鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。 如果不是这样，假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。” 那么，鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。如果它交回小孩，母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言。反过来，如果它聪明一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了，鱷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。 附录二：女朋友的烦恼 M：你听说过一个小伙无法决定看哪个女朋友好的事吗？他有两个女朋友，一个住在东城，一个住在西城。他每天不定什么时候要去地铁车站一次．坐上最早碰到的列车。 M：向东的列车和向西的列车都是十分钟到一次。 M：有一天晚上，东城的姑娘说：V1：我真快乐，你十天里就来看了我九次。 M：又一天晚上，西城的姑娘十分生气：V2：怎么回事？你十天才来看我一次！ M：这种奇怪的现象就跟电梯的情况一样。尽管所有列车都隔十分钟到站，可是运行时刻表编得使西去的列车比东去的列车总是晚到一分钟。 M：为了赶上西去的列车，这个小伙必须在一分钟间隔内的某时到达，如图中画的表之的阴影部分。要赶东去的列车，这个小伙就需在九分钟间隔内的某时到达，如这只表上的白色部分。显然，向西去的概率就只有1/10，往东的概率是9/10。 在这—结论中，两趟列车之间的等候时间由运行时刻表决定。在一连串随机事件中，两次事件之间的“平均等候时间”是通过把几次等候时间相加，再除以几得到。例如，这个小伙等候东去的列车，平均时间应是4分，他要往西，平均等候时间是半分钟。 还有其他很多关于等候时间的悖论。这里有一个我们学生时代喜欢思考的悖论。在抛硬币时，出现国徽（或字）的平均等候时间（或次数）是两次抛掷。这就是说，如果你把抛掷硬币的结果依次列出，并计算每两次国徽之间的时间（即次数），则两次国徽之间的抛掷次数（第一次国徽不算在内，但包括第二次国徽出现的那次）是两次。 假如你把很多次钱币抛掷结果列成直行表。随意在两个相邻的结果之间选一点（或许是闭上你的眼睛划一条横线）。找出这一条线上面和下面最近的国徽，并计算出从一次国徽到另一国徽之间包括的抛掷次数。如果你将这一工作重复多次，国徽之间的平均次数是几？ 根据直觉，答案似乎是2次。实际上却是3。理由就跟那个青年老是赶上东去的列车一样。两次图案之间有时抛掷次数多，有时次数少。你随便划的线就像那个青年在任意时间到达地铁车站一样。这条线划在抛掷次数多的两国徽之间比次数少的国徽之间具有更多的可能性。 如果我们另用一种算法，即从划出的线向两边数，那么，由于钱币抛掷的结果与它以往的抛掷结果无关，于是从划线的地方往上数或往下数，按照上面平均等待时间（次数）的概念，可知要平均扔两次才出现国徽，故两个国微都算在内时，抛掷次数为2*2=4次。但我们规定是只算一个国徽，故应为4-1=3次。 附录三：帕斯卡赌注 M：著名的十七世纪数学家布莱斯·帕斯卡把中立原理应用于基督徒的忠诚上。 帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。教义也许是真实的，也可能是骗人的。这有点象抛硬币，两种可能性均等。可报应是什么呢？ 帕斯卡：假定这个人拒绝了教堂的教义。如果教义是骗人的，则他什么也没有损失。可是，如果教义是真实的，那他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来。 帕斯卡：假定这个人接受了教堂的宣传。如果教义是骗人的，他就什么也得不到。可是，如果教义是真实的，他将能进入天堂享受无穷的至福。 M：帕斯卡确信，对这一决策游戏的报应无限有利于把宝押在教义是真的这一态度之上。哲学家们自那以后一直在对帕斯卡的赌注进行争论。你的看法如何？ 十七世纪的法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡是概率论的奠基者之一。在第一图里所画出的是他提出的一个被称之为“帕斯卡三角”的著名的数字结构。帕斯卡不是这个三角的发明者（它可追溯到中世纪早期），但他是第一个对此作了彻底研究的人。这个图形的结构具有许多精美的组合性质，从而使它成为解答初等概率问题的一个有用工具（见哈诺尔德·雅可比的《数学——人类的魄力》关于帕斯卡三角一章）。 在哲学上，帕斯卡三角最富戏剧性的应用是帕斯卡《随感录》中第233个想法。帕斯卡认为，由于我们无法确定教堂的教义是真还是假，我们就应该把这两种情况当作具有同等的可能性。就像抛掷硬币的结果一样。然而如果我们接受教堂的说教，报答是无限有益；如果我们拒绝它，就会无限受报。因此，他主张接受是最上策。 课堂讨论帕斯卡赌注很快就能引导学生深入到各种具有深刻挑战性的问题。例如： 1．中立原理是合法地应用于帕斯卡的论断之中吗？ 2．对于法国哲学家丹尼斯·林德罗提出的这样一个异议你作何回答？世界上还有很多其他的影响很大的宗教，例如伊斯兰教，它们也提出接受该宗教是得到拯救的条件。帕斯卡赌注也适用于所有这些宗教吗？如果这样的话，一个人难道能成为每个宗教的信徒吗？ 3．你对威尔斯的看法有何见解？我们并不知道世界在经历一场原子大战之后是否会保留下来。可是，你的生活和所作所为应该表现得好象你确信世界能够经历这场劫难而保存下来那样，这是因为（如威尔斯所说）“如果在末了，你的乐观看法不能证实，你也总是快乐的”。 附录四：绕着一个姑娘转圈 甲：啊，梅蒂尔！你在树后藏着吗？ M：当这个男孩绕着树转的时候，梅蒂尔也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男孩始终看不到她。 M：他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕梅蒂尔转了一圈吗？V1：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈。乙：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能看到梅蒂尔的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？ 这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现。松鼠蹲在树椿上，猎人绕着树椿转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？ “绕着转了一圈”这意味着什么？如果我们在这方面没有一致看法，则对上面的问题显然是无法回答的。在我们日常说的话中，许多词没有确切的定义。威廉·詹姆斯的经典哲学著作《实用主义》一书中，有一段对“猎人和松鼠”这一问题的有趣探讨，他把这当作纯粹语义上的争论的一个典型。当双方一旦认识到他们所争论的只是如何定义一个词时，困难就很快消除了。如果人们更清楚地认识到术语的精确定义该是多么重要，那么许许多多尖锐的争论问题几乎就都会变得象这个问题那样平凡易解。 附录五命运、机会和自由意志 M：尽管物理学家对时间了解得越来越多，它的实质仍然是神秘莫测的。最大的一个问题就是，未来是否可以完全断定。 甲：我是个决定论者……啊，啦啦啦啦……。无论什么要发生，它将会发生。生活就像电影，我们就是银幕上的人物。我们以为我们拥有自由意志。事实上，我们只不过是表演着早已预定好的情节。 乙：我是个非决定论者（自由意志论者）。未来仅仅是部分决定的。我们可以用我们的意志改变事物。历史实在是惊人的。 M：某些科学家强烈地信仰决定论。另一些则同样强烈地信仰非决定论。你相信什么？这是一个深刻的哲学问题，是科学无能回答的问题。 科学家、哲学家和普通人在未来是否由过去完全决定这一问题上，明显地分为不同部分。决定论者相信，在任一给定时刻，宇宙的总状态完全决定着宇宙在任何未来时刻的总状态。这是爱因斯坦本人的信念。推崇决定论的哲学家中，最伟大的是斯宾诺莎，爱因斯坦称自己为斯宾诺莎主义者。这也是爱因斯坦终于未能接受量子理论的原因之一，因为在量子理论中，机会在微观现象中在决定事态发展上起着决定性作用。“我不相信上帝会拿宇宙来玩骰子”，爱因斯坦曾经这样解释。 一个非决定论者相信，宇宙的未来只是部分地由它现在的状态决定的。他不一定相信自由意志。他所相信的也许只不过是在微观现象中，机会的作用就是使未来不能完全被断定。此外，他还可能相信，生命体，尤其是人类，拥有“自由意志”，这使得他们有能力以一定方式大大改变未来，可这种方式即便对于那些超人也是无法预言的，尽管这些超人在认识当今宇宙中想知道什么就知道什么。查尔斯·皮尔斯和威廉·詹姆斯是拥护非决定论的两个著名美国哲学家。 这些深奥的哲学问题与时间的性质有着密切关系，在我们说一件事“引起”另一件事时，我们的意思中也涉及到这些问题。没有人怀疑，数学可以下述方式应用于我们对宇宙的测量：即很多事件可以以很高的精度预言出来，比如，下一次日蚀的时间。同时，也没有人否认，其他一些事件，例如，下一次死亡落在谁头上，下一周天气怎样等是不能准确地预言的，因为导致它们发生的因素过分复杂了。 重要的问题是，宇宙的基本定律是否是完全决定论性的，或者真正新奇的事物是否是由微观方面的纯粹机会产生出来的，抑或是由宏观方面的生命体的自由意志产生出来的，或者既是由纯粹机会也是由生命的自由意志产生出来的。这些问题自古以来就在古希腊人中，科学家、哲学家以及其他各种人中一直在争辩着。
