爱华网系列专题：《玩转华尔街：财富公式》
图：几种类似凯利系统的下注策略的比较 标有"准凯利系统"的曲线描述的是另一种按比例下注策略的收益变化。根据准凯利系统，每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的一半。可以看到，准凯利系统的收益增长相比之下更加稳定，稳定的收益大多数情况下是件好事，但采取准凯利系统下注的赌徒最后的财富总额却远远低于采取凯利系统的赌徒，只有16.07美元。 标有"超凯利系统"的曲线描述的是每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的两倍的投注策略。本次实验中采取超凯利系统下注的赌徒最后的财富总额是35.88美元。这种"双倍凯利"系统非常不稳定，如果运气好的话收益可能非常丰厚，但一旦出现变故，就有可能损失巨大。请注意，在上面图中的开始阶段，三条曲线中表现最好的是超凯利系统，但是好景不长（图左靠下出现了一个火山形状的起伏）。之后，超凯利系统的财富曲线几乎下降到零，而且很长时间都维持在非常低的水平。如果我们把实验无限延长，就会看到采用双倍凯利系统的财富曲线会一再跌到1美元的初始资本甚至更低。 有时结果会更严重。虽然超凯利系统采取的也是按比例下注的策略，但仍然有可能导致破产。如果按照四倍凯利系统下注（每次下注金额相当于总资本的40%），相应的收益曲线几乎与上图中横向的坐标轴平行，在上图中可能根本无法看到。这样，按照四倍凯利系统下注500轮将会使1美元的初始资金降低到0.00000038美元。如果继续下注，那么总资本将无限减少，但从理论上讲，在货币单位可以无限减小且没有最低下注金额要求的条件下按照四倍凯利系统下注不会导致血本无归，虽然剩下的本金金额会少得无法计算。 凯利系统所依据的基础是所谓的"大数法则"。早在1713年，瑞士的数学家雅各布 伯努利就在一篇论文中提出了这个法则，但一直都被赌徒和投资者误解。雅各布 伯努利提出的法则是针对期望值这个非常棘手的概念的。在美国赌场的轮盘赌中，如果轮盘保持百分之百水平放置，把赌注押在红色上面就有18∶38的胜算。是不是这就可以保证每转38次轮盘就能有18次指针指在红色上面呢？答案当然是否定的。（赌场里的事情谁能"保证"呢？）是不是如果过去一段时间指针总是指在黑色上面，所以接下来就会"轮到"红色呢？答案仍然是否定的。（虽然很多赌徒相信这种风水轮流转的说法。） 那么期望值和这又有什么关系呢？如果要把这条数学定理翻译成浅显易懂的语言，很多人都会使用"从长期看"这个词。人们经常会说这样的话，"从长期看，指针指向红色的概率是18∶36。"
但"从长期看"这句话不过是个口头语罢了，没有什么实际意义。不论你把轮盘转多少次，也无法保证指针指向红色区域与总数的比值与期望值相等。 如果把转盘一连转上380亿次，会不会有180亿次指针指在红色上面呢？答案仍然是否定的。那么，会不会指向红色的次数接近于180亿次呢？这就要看你说的"接近"是怎样定义的了。如果你说的"接近"上下只差十次，答案几乎肯定是否定的。事实上，实际值和期望值会随着转轮盘次数的增加而提高。 根据雅各布 伯努利的大数法则，我们（只能）知道，随着转动轮盘次数的增加，指针指向红色的次数会不断倾向于接近期望的概率。在轮盘转动数亿次之后，指针指向红色的概率会非常接近18∶38，也就是47.37%。 过去几个世纪以来，无数的赌徒通过实践都得出了下面的结论：大数法则对于赌场中的实际操作没有他们期望的现实意义。也就是说人们对大数法则的期望值是个负数，所以谁也别指望利用大数法则赚钱发财。 你也许会想，如果能找到一个期望值为正数的下注机会，也许可以通过长期应用大数法则来获得收益。但这也不一定。正如我们上面看到的，现实生活中存在着在短期内就破产出局的风险。即使采用按比例下注的方法，仍然有可能破产出局。
