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数字信号处理是一门理论与实践、原理与应用结合紧密的学科。数字信号处理是教学与科研中十分重要的辅助手段，是生物医学工程专业的必修基础课程。我院为生物医学工程专业的学员开设的“数字信号处理”课时数为60学时，其中理论课时为40学时，实验课时为20学时。教材选用《数字信号处理》。由于这门课程的理论性很强,抽象概念多，涉及到许多的数学知识，学生普遍学习起来有一定困难[1] 。因此,如何帮助学员理解与掌握该课程中的基本概念、基本原理、基本分析方法,培养利用数字信号解决实际问题的能力,是数字信号处理课程教学所要解决的关键问题[2]。 快速傅里叶变换是数字信号处理的核心内容，其推导过程牵涉许多的知识点。如何采用简洁的方式，使学员理解快速傅里叶变换的基本原理，本文根据教学实践，采用层层推导的方式进行快速傅里叶变换讲解，效果较为理想[3]。 理清离散傅里叶变换（DFT）的运算工作量 1.1 DFT的计算原理 在信号处理中，DFT 的计算具有举足轻重的地位，信号的相关、滤波、谱估计等等都可通过DFT来实现。傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。离散时间信号的连续傅立叶变换定义为：，式中 是一个连续函数，不能直接在计算机上做数字运算。为了在计算机上实现频谱分析，必须对的频谱作离散近似。有限长离散信号的离散傅立叶变换(DFT)定义为： （1） 因此计算一个值的工作量,如需要N次复数乘法运算,和次复数加法运算，,含有个需要乘法次,加法次计算。为了使学员明白直接计算DFT的工作量，可以举具体的例子，帮助其理解。比如：4点序列{2，3，3，2} DFT的计算复杂度， ， 通过举例，可以看出一个简单的含有4个抽样点的序列，计算DFT需要16次乘法，12次加法。而在现实生活中，对一个信号的抽样点，通常是成百上千个抽样点，那么计算DFT的工作量是非常大的。即使现在计算DFT用电脑计算，庞大的运算量也会影响计算速度的。因此对于一个实际信号来说，纯粹靠DFT来计算离散信号的傅里叶变换，效率是很低的，就需要改进，那么又如何改进呢？这就是下一个要讲解的问题，提高DFT的运算速度的途径。 1.2 提高DFT的运算速度的途径 从式（1）里面看出，影响DFT运算的速度有两个因素：1）一个是序列的长度；2）一个是DFT的旋转因子。如果想办法改变序列的长度，使大变成小，并且利用旋转因子优化公式，整个DFT的运算速度会提高。这就是提高DFT运算速度的两条途径。知道途径之后，就可以开始讲解快速傅里叶变换工作原理。为了便于说明，我们只以按时间抽取的基2快速傅里叶变换为例，进行讲解。 2. 按时间抽取的基2FFT的计算原理 2.1 分组 提高运算速度的一个途径：改变序列的长度，大变成小。将序列分组的目的就是将一个长序列分为短序列之和，减小的值。假设序列的长度为,L为整数。将的序列,先按n的奇偶分成两组： 代入DFT中 利用公式化简： 由于学员之前已经学过旋转因子的对称性、周期性，因此公式可以进一步简化 （2） 2.3 结论1 从式（2）中，引导学员可以自己总结出一个结论：一个点的DFT被分解为两个点DFT（，）：，到目前为止，只是推出了前面个点的DFT的优化公式，后面点的DFT又该如何计算呢？启发学员再次应用系数的周期性，求出用和表达的后半部分的的值。 利用周期性 （3） 2.4 结论2 将式（2）（3）两次推导总结起来，就可以得到整个点的快速傅里叶变换公式（FFT）： ，其中。只要求出两个N/2点序列的DFT—和，则利用上面的线性组合，即可求出全部点的DFT—。 2.5 快速傅里叶变换的蝶形运算 为了便于学员们形象理解FFT的运算，通常用蝶形运算图演示上面的公式： 由于，因此仍为偶数，可以依照上面的方法进一步把每个点子序列，再按输入的奇偶分解为两个点的子序列，按这种方法不断划分下去，直到最后剩下的是2点DFT，剩下的最后两点DFT实际上只是普通的加减运算了。以8点的DFT为例，演示FFT的运算方法。 2.6 FFT运算量 根据前面的推导, 共需L级蝶形运算,而且每级都由个蝶形运算组成,每个蝶形运算有一次复乘,两次复加。因此点的FFT复乘次数：，复加次数： 为了便于学员理解FFT的运算速度，可以通过图（2）显示FFT与DFT的两者之间的运算速度的差距。 图（2） 运算次数 3. 结束 本文详细探讨了快速傅里叶变换教学方法。在教学过程中，采用这种层层推导的方式时学员理解快速傅里叶变换的原理，掌握运算速度提高的实质。通过实践证明，效果较为理想。 参考文献 [1]程佩青.数字信号处理（第3版）[M] 北京，清华大学出版社，2009 [2]方艳梅译.数字信号处理（第4版）[M]电子工业出版社，2010 [3]王玉德. “字信号处理”程的教与学的探讨[J]电气电子教学学报,2008.12
