高三数学差生如何补习 高三如何恶补数学?

高二下学期有一次数学考试,我只考了70多分。这个成绩让我焦虑万分。这意味着,我的大学梦想就要化为泡影。

不久以后,我发现了高中数学的秘密,见下图....

后面我会对这张图做详细说明。

继续说实际经历.....

在所有的科目里,唯独数学是不及格的。这件事儿让我百思不得其解,打击沉重。我小学、初中的数学都是最令我自豪的。初中有次数学测验还考过满分。然而,就是这最擅长的科目,在高二下学期居然不及格。眼看还有1年多的时间就要高考了。这让我万分着急。

与我形成强烈反差的是我的同桌。他是数学课代表。数学考试成绩长期稳定在130至140多分,高考的时候是147分。他后来考入了北大电子系。当然我后来与他一同考入北京大学。我们同住在32楼。他住四楼,我住3楼。只不过在高二下学期的时候,这种情景是超出我的想象力的。

那时,我刚刚由于成绩有所进步,从班级倒数第二排被调到了前排。过程充满戏剧性,但又十分干脆。那天,正好数学课代表的同桌晚自习上课迟到。班主任一怒之下,把我调了前排成为数学课代表的新同桌。而把迟到那兄弟放到了倒数第二排的我那位置。

我和数学课代表同桌,本来关系都挺好。聊得来,而且都喜欢踢足球。我很快了解到,他数学如此厉害,只有三个原因。

第一,他爸爸是高中数学老师。这个我早就知道的。耳濡目染的熏陶必然产生作用。

第二,他在初中的时候,他家里订了一些数学杂志。他经常在上面找一些有趣的题目。这样,他对数学一直很感兴趣。这个确实得承认。后来,他北大本科毕业之后,保送研究生,做的是语音信号处理。涉及到大量的数学。他做的挺轻松。现在在北京航天城做卫星测控,做的很出色。这些在高中时代,我们都想象不到。

第三,他一直擅长数学。初中数学竞赛、高中数学竞赛获奖,虽然数学没有好到可以保送北大的程度,但是他名副其实的擅长数学。擅长,这件事儿是很奇怪的。擅长会激发兴趣。兴趣又让人擅长。这是一个正反馈。所以,以兴趣和擅长为根基的优势,是难以撼动的。

想来这三样,都是我不具备的。唯有曾经擅长过数学。但擅长的程度与他相比,不可同日而语。

要说数学的兴趣。我高中对数学真没什么兴趣。数学老师换来换去。起初是一位女老师。性格非常和蔼可亲,一视同仁。我那时比较内向(主要是学习比较渣的副产物),居然在自习课上也敢跟数学老师请教问题的。但这位老师的课程讲的不怎么吸引人,高考之后,我对数学课近乎没有任何印象。

到了快上高三的时候,由于数学老师要休产假,换了另外一位激情四射的老师,也是女老师。可惜那时候,我已经有了自己的一套学习进度,课上基本不听课了。所以,也没有因为老师对数学产生过感觉上的差别。总体来说,高中阶段,数学老师基本上对我的学习没有产生任何影响。为此我感到非常幸运。没有消极影响,已经不错了。

我的数学怎么从擅长变成了不及格了呢?原因很简单。为了奋起直追,所有的学科全面落后,所有的学科上都花费了大量精力。数学的时间供给不足。

我进入高中之后,排名班级30多名。算总分,班上最好的同学比我的成绩高出150多分。也就是说,这些学霸即便有一门课不考试,总分依然比我多。

这种悬殊的差距把我压的喘不过气来。这不是夸张,而是实际情况。小时候,我听到许多成语,总以为是夸张手法。随着年龄的增长,我越来越发现,一些成语并不是夸张而是写实。例如,沁人心脾等等。

我说喘不过气来,是因为在高二的时候,我已经因为长期的焦虑、变成了抑郁,从抑郁变成了身体不良反应,消化功能出了问题。我爸爸专门带我去医院,治疗消化功能问题。要知道,我的身体素质非常的好。从小到高中,几乎没有因病打针吃药的情况。

数学成绩掉入低谷的那个阶段,正是我整个高中的学习全面陷入危机的时候。

对学习本身的几个深层次问题的思考,让我走出了低谷。

1.从学习方法的突破到全面反击

让我跳出消极认知的是反思,用“上帝视角”看自己的学习过程,对深层问题给出朴实的解答。

既然没有明显的进步,距离学霸相差150多分,那是什么原因呢?归结为智商,我不甘心。如果不是智商,那是什么原因?不努力,也不是。还有可能是什么原因?我想不清楚。于是,我想,学习的目的是什么?考好成绩,考好的大学。当然了,简直是废话。谁不想考好成绩,好大学呢。这种愿望的剧烈程度,对于有强烈上进心的人来说近乎是一样的。那么,一天的学习是为了什么?想来想去只有一个原因,是为了进步。那么,我的一天的进步在哪里,有多少进步呢?我发现,我根本弄不清楚。于是,我发现以往虽然很努力的在学习,但完全是糊里糊涂的在学习。于是,这就是结症。

所以,弄明白自己一天进步了多少,进步在哪里,就是唯一、必须做的事情。然后,我当天就开始做一个记录本。不是进步本,也不是课堂笔记。而是把一天所学的东西,无论是做错的题目,还是不会做但弄明白了题目,还有一些积累的零散知识点,都记录在一个本子上。晚上清点战果,复习、重做,保证记忆和理解。然后周期性的复习,直到不忘为止。就这样经过了一年多一点儿的时间,我完成了逆袭。以高于录取分数线60多分的成绩进入北大,获得新生奖学金。

许多学校都主张学生们做“错题本”、“订正本”、“错题集”。做比不做好。但绝大多数老师和学生,不得要领,流于形式。当然,这些名字也是有问题的。错题、订正,这些不是根本,进步才是根本。而导向进步的又绝不仅仅是错题和错题的订正而已。导向进步的,是你所有的明确进步的汇集,还有它们的有效积累。

从想明白学习的目的是为了进步那天开始,遇到不会做的题,我都会记下来。无论是看参考书,还是问同学,搞明白了,就从头到尾记下来。做错了的题目,无论是因为粗心,还是因为知识点、解题方法,搞明白了,从头到尾记下来。新学到一个名言警句,记下来。起初是所有的东西都记在一个本子上,我称之为进步本。这跟现在流行的“错题本”、“订正本”、“错题集”,有本质的差别。



我的进步本是记录我的所有具体进步的本子,包括搞明白了的错题、不会做的题、还有新学到的各种知识,还要关于学习的一切总结、思考。这样,一天下来,一看这个本子,一目了然。记录了多少,就是有多少进步。记录了什么,就是哪里有进步。

但没过多久,我发现,记录下来,不等于进步。只有记在脑子里,不忘记,才是真正的进步。同样的错误再犯,同样的题型又不会了,同样的知识点下次遇到又模糊了,这些都不意味着进步。即便记到了本子上也没用。

怎么办?只有一个办法。每天抽出专门的时间,把本子上面的题拿出来重新做。仅仅是睡觉前看一遍是不够的,因为看一遍以为会了,以为掌握了,实际上不一定。很可能是自欺欺人。事实上,我常常发现。重做的时候,还是有些会做错。所以,在重做的过程中,会对相关的知识点,解题方法进行重新的标记。也会对原有的知识型笔记,进行更多的标注。所以,这绝不是机械式的学习,而是理解式的学习。不断迭代,不断深入的学习。这种方式的学习,一切参考书上的东西,只要是我没有掌握的,都是我模仿、研究的对象。

没过多久,我又想明白了一件事。进步本,不是快速进步的一种方法,而是快速进步的唯一的方法。因为,如果犯过的错误还犯,如果弄明白的题目,下次还错,那么这根本就不是学习。或者,是效率极差的学习。相反,保证出错的不再出错,搞明白了一劳永逸的明白,是学习的底线。于是,我就坚定不移的这么做了。很久之后我才知道,类似错误不犯第二次,是多么的难。

有关这段过程的详细经历,我已经在另外两篇回答中做了充分的回顾和介绍:



2.掌握思维技能突破数学

要实现数学的突破。我首先问了这样一个问题:数学的特殊性是什么?

这个问题很重要,到了高中已经学了十几年数学了,如果不了解数学的特性,那肯定就是在糊里糊涂的学了。糊里糊涂的学,能学好吗?糟糕的成绩是必然的。正如费曼所说。



表面上来看,数学的特殊性是精确。语文里面大题错一个字,扣除的分数不多。但数学,即便错一个符号,后果都是巨大的。

但这还不是数学的本质。数学的本质是高度的结构化。我们来问一个朴实的问题。

所有高中数学的基础知识,包括基本概念、性质、定理、公式,全部放在一起有104页(A4纸),约5万字。数学如果要考到140-150分,这些基础知识必须非常精确、非常稳固的“存储”在大脑里。如果用机械记忆的办法,在三年的有限时间里,把这104页的内容完全背下来,是非常艰难的(近乎不可能)。高中数学的学习绝仅仅是这些基础知识,而是包含了大量的解题技巧。后者占用的精力,更大。但是,显然有人做到了,比如那些接近满分的学霸。只不过在他们那里并不是机械记忆。

那么一个数学学得很好的人到底是如何处理数学的基本知识的呢?只有一种可能。他们的记忆不是机械的,而是高度灵活的。只要跟这些讨论就会发现他们的思维特点,同一个问题他们可以从不同的角度给出理解。一个概念,他们可以举出许多不同例子和角度来理解。

什么是数学思维灵活?所谓灵活就是指,他们对数学基础知识的理解是活生生的,不是死记硬背式得来的刻板印象。说到底,就是他们掌握了数学思维。

数学思维,是我很久之后才抓住的一个核心。所谓数学思维是指,在处理数学问题上,一而再,再而三的运用的思维模式。如果把数学当做知识去学习,那么大脑的负担太大,苦不堪言,痛不欲生。但如果把数学当做思维技能来练习,那么在期间大量的思维过程是重复的,熟能生巧。而且典型的数学思维过程并不多!这是最重要的!

那么典型的数学思维到底是什么?其实就是从概念的引入,到性质、定理、公式的推导和证明,以及基本例题的解决。这个过程用到思维过程是极少了。在高中数学里,仅仅是几十种的范围以内。

那么,如果要突破数学,就必须掌握他的核心——数学思维。擒贼先擒王!

怎么擒获数学思维?非常简单,只有以下三点:

(1)推导一切可以推导的;

(2)证明一切可以证明的;

(3)书上的例题全部独立做一遍;

这三点是硬功夫!


当你做完这件事情之后,你会发现数学有其基本的结构。在所有的数学分支中,这种结构近乎是一模一样的。

数学的思维结构是什么?

数学的思维结构是从问题引入定义,这个定义一般会对应着几何直观;然后定义又引入定义的性质,比如导数的性质,极限的性质等,另外,定义包含着运算,比如导数,从导数的定义直接就可以推出运算法则。然后从定义和运算法则和性质,会推出一系列的定理,这些定理在各个复杂的数学情形中进行应用,乃至应用于其他的领域,包括物理学,经济学,生物学等等。

这里关键在于所有的数学分支都是这么同样的一个结构,几乎是完全相同的。数学的所有分支都是这样一个同样的结构。

如果我们把数学的本质当做思维技能来看待,我们立即能回答很多问题。比如说为什么平时做题不错,而考试成绩却不佳,其实最重要的原因是把数学仅仅当做知识来学,因为考试的时候,就它不会考同样的题目。题型还会变动,我们的记忆是会波动的,如果我们着眼于这个思维技能,我们就会发现,技能比知识的记忆要稳定得多,技能比知识的记忆要快得多,技能往往是一种自动化的东西,而知识需要想半天。

可能很多人仍然不理解:数学知识和数学的思维技能究竟有什么差别?

举一个例子,看过一万遍钢琴谱的人会弹钢琴吗?甚至弹过一万遍1234567的人,能弹好曲子吗?显然不一定啊。所以当我们去学数学的时候,我们看许多遍书,不一定有效。看许多遍视频,也不一定有效,即便是练过许多题目,也不一定有效,因为这么做的人多了,考的成绩不理想的。这么做的人,考的成绩不理想的人,比比皆是。


那么什么才是核心?什么才是关键?

最核心的是训练数学的思维。当我们看书的时候,当我们看视频的时候,当我们练习题目的时候,如果我们关注的是如何训练自己的数学思维,这样才会产生效果。这种训练会训练出一种思维技能,数学的思维技能,而这种技能是贯穿于数学的所有分支,所有部分的。

这种技能甚至还可以迁移到其他领域,如果我们把数学看作思维技能的话,立刻可以理解为什么数学成绩很突出的人,反而不去记很多东西?就像一位师弟,在黑板上出一道积分的题目,我们来出题,我们在那讨论,他站在那30秒钟直接报了个答案。他就是这种类型的人,他不会记很多的数学知识,但他却能迅速解题。为什么?因为他们必要的时候可以推导出来,把公式推导出来,这些知识在他们大脑中是一个有机的记忆,甚至是自动化的。

掌握数学思维的同时,你对数学的基本概念、基本性质、命题、定理、公式,都有了全新的感觉。因为你只需要记忆很少的基本概念、基本逻辑,就可以推导出大部分内容。记忆没有负担。

但是对于许多概念、性质的分类。你仍然需要将他们有序化。这时候,画一些框图、思维导图,是很有用的。你可以把这些内容,记录到进步本上。不同的阶段,你会不断完善它们,不断画出新版本。



做了上述工作,数学的知识和思维技能技术就很牢固了。然后可以在上面建大厦了。那就是快速准确的解题!

3.用进步本攻克数学解题技巧

掌握了数学思维还不够,还要大量掌握做题技巧。做题技巧、解题方法,最大的特点是,它们是有限的!!!题型再多,是有限的!方法再多,也是有限的!

基本概念清晰,数学思维清晰的基础上,你只需要做一件事:长驱直入,开疆扩土!

把每一种题型穷尽。把一种题型对应的解题方法,穷尽。

这里进步本就发挥关键作用了。

“阵地战”——按章节的顺序总结各种基本类型题的解法:高考不但考察基础知识,而且还考察一些解题方法,这些方法中,大部分都是很基本的,因此要牢固掌握这些方法。因此,要准备一个类型题笔记本,将那些自己现在还不熟悉的基本方法,按照章节地系统地总结整理。参考自己的错题本,课程笔记,和一、两本参考书。

“歼灭战”——把以往做错的还有不会做的题目消灭掉:错题不但要重新作一遍,而且要作深入分析,找出错误原因,并总结出警示——即怎样才能防止此类错误的再出现(比如,要细心,比如指出这一知识点的要点,比如指出某一个方法的要点等)。我们的错误有三类原因:第一,不够耐心、细心;第二,对知识体系掌握的不够全面、深入;第三,基本的解题方法不够熟练。

查缺补漏:这时候会作大量的模拟题,从而找到自己的弱点。“运动战,游击战”——查缺补漏,逐个击破:从错误所属知识范围,判断自己的弱点,并逐个击破。比如发现在数学上,三角函数的部分错误率比较高,则集中时间(比如两三天之内的数学学习时间全部用在三角函数上)学习、巩固基础知识,并作题目以检验自己的熟练程度。集中时间、经历,就是集中兵力。没有固定的作战线,凡是我们的弱点就是我们的战线。 这一过程积累的成果错题本可以吸收到类型题笔记本里。

一方面,通过作模拟题,巩固上面两阶段的成果,在这上面应该保持大量精力。但如果前两阶段顺利,我们便有能力分出一部分时间来钻研“难题”,这些难题是“制高点”。

战术:分专题,将自己不会作的题目分类,总结各种题型的各种解体方法、解题技巧。继而不断扩大战果,寻找新的难点,逐个击破。这一阶段的主要目标是,每科接近150分(如果满分是150)。

4.收获

自从我用进步本的方法之后,不但解决了焦虑的问题,而且,成绩直线上升。随后是指数上升。数学成绩也是如此。

我高考的数学分数时137分。虽然并不很高,但我以全市第一名,省第三名的成绩进入北京大学。

高考是在自信、乐观、平和的心境中度过的。直到考前一天,我的数学,一方面巩固进步本上的内容,确认没有问题之后,我仍然继续开疆扩土。如果再给我一个月的时间,我相信,我的高考数学能够接近满分。

总结起来,高中数学的突破办法,有如下三个步骤:

(1)掌握数学思维:推导一切可以推导的,证明一切可以证明的,独立作出书上所有的例题。

(2)梳理数学知识:用框架图、思维导图的方式,让数学知识在大脑中高度有序化,随时快速调用。

(3)用进步本穷尽题型和解题技巧:长驱直入,开疆扩土。

这三个步骤是按照优先次序排列的。在同一时期可以并行使用。在不同的阶段,侧重点不同。越到后期,后面的内容所占的比例越大。

希望这篇回答,对你有用。


本文评论区:


2 (2017/01/16)
答主说的太有道理了。以前我高中时候也是三角函数最差,公式总记不住。突击学习后,一天做某个证明题时,思路走偏了,几乎把所有三角函数公式都试了一遍,反复变形,写了两页纸的证明过程,最后才做出来。事后一看,标准答案只有七八行,我一开始用了另外一个公式,后面的过程全是从a公式出发推导b公式。但是就这次之后,我对三角函数公式有了一种“迷之自信”,从此以后再也没有做错过任何三角函数题目。

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